Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
(h) y^prime e^pi x=y^2+1

Passo 1

Temos a equação y' e^pi x = y^2 + 1. Isso é uma EDO de variáveis separáveis, pois podemos escrever y' = dydx e colocar tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro.

Passo 2

Reescrevendo y' e separando variáveis, temos
dydx = y^2 + 1e^pi x Longrightarrow dyy^2 + 1 = e^-pi x,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. A integral de 1/(y^2+1) é arctan y e a de e^-pi x é -tfrac1pi e^-pi x. Logo,
integral dyy^2 + 1 = integral e^-pi x,dx
arctan y = -1pi e^-pi x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos a tangente nos dois lados:
y = tanl(-1pi e^-pi x + Cr)
Como C é arbitrária, podemos reescrever -tfrac1pi e^-pi x + C simplesmente como C - tfrac1pi e^-pi x.

Resposta

A solução geral é y(x)=tanl(C - tfrac1pie^-pi xr).

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