Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
y^prime prime-y^prime+x y=0

Passo 1

A EDO dada é y''-y'+xy=0. O conteúdo envolvido é a solução por séries de potências centradas em x=0. Vamos assumir uma série para y, calcular as derivadas, substituir na equação e igualar coeficientes para achar uma relação de recorrência.

Passo 2

Supondo y(x)=sumn=0^inftyanx^n, temos as derivadas em termos de séries:
y'(x)=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo estas séries em y''-y'+xy=0:
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n -sumn=0^infty(n+1)an+1x^n +sumn=0^inftyanx^n+1=0

Passo 4

Ajustando o terceiro somatório para potências x^n (trocando nto n-1 em sum anx^n+1) e igualando coeficientes de x^n, obtemos para n=0:
2a2-a1=0Rightarrow a2=a12,

Passo 5

e para n>=1:
(n+2)(n+1)an+2-(n+1)an+1+an-1=0 Rightarrow an+2=(n+1)an+1-an-1(n+2)(n+1)

Passo 6

Como há duas constantes livres a0 e a1, a solução geral é
y(x)=a0y1(x)+a1y2(x), onde y1 e y2 são obtidas escolhendo (a0,a1)=(1,0) e (0,1) na recorrência.
Para ilustrar, os primeiros termos de cada série são:
y1(x)=1-tfracx^36-tfracx^424-tfracx^5120+tfracx^6240+dots,
y2(x)=x+tfracx^22+tfracx^36-tfracx^424-tfracx^530-tfracx^690+dots

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1l(1-tfracx^36-tfracx^424-tfracx^5120+tfracx^6240+cdotsr) + C2l(x+tfracx^22+tfracx^36-tfracx^424-tfracx^530-tfracx^690+cdotsr),
onde as constantes C1 e C2 equivalem a a0 e a1.

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