Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo utilizando série de potências.
Passo 1
A EDO dada é
. O conteúdo envolvido é a solução por séries de potências centradas em
. Vamos assumir uma série para
, calcular as derivadas, substituir na equação e igualar coeficientes para achar uma relação de recorrência.
Passo 2
Supondo
, temos as derivadas em termos de séries:
Passo 3
Substituindo estas séries em
:
Passo 4
Ajustando o terceiro somatório para potências
(trocando
em
) e igualando coeficientes de
, obtemos para
:
Passo 5
e para
:
Passo 6
Como há duas constantes livres
e
, a solução geral é
Para ilustrar, os primeiros termos de cada série são:
Resposta
A solução geral é
onde as constantes
e
equivalem a
e
.