Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
y^prime=(4 x^2+y^2) /(x y)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
y^prime = 4x^2 + y^2x y
Esse problema faz parte do estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver essa EDO, vamos precisar usar técnicas de substituição que simplificam a equação, facilitando a integração e, consequentemente, encontrando a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir os termos no numerador por y^prime = 4x^2x y + y^2x y = 4xy + yx :
y^prime = 4xy + yx
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
z = yx
Isso significa que y^prime = z + x z^prime . Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo z + x z^prime = 4xz x + z xx = 4z + z e z + x z^prime = 4z + z na equação original, temos:
x z^prime = 4z
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, vamos separar as variáveis para poder integrar:
z z^prime = 4x
Isso pode ser reescrito como:
z , dz = 4x , dx

Passo 6

Integramos ambos os lados da equação:
integral z , dz = integral 4x , dx
Calculando as integrais:
12 z^2 = 4 ln|x| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para z^2 = 8 ln|x| + 2C :
z^2 = 8 ln|x| + C
Podemos simplificar a constante ( yx )^2 = 8 ln|x| + C para apenas y^2 = x^2(8 ln|x| + C) :
Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = x raiz8 ln|x| + C
Onde é uma constante arbitrária.

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