Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Esse problema faz parte do estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver essa EDO, vamos precisar usar técnicas de substituição que simplificam a equação, facilitando a integração e, consequentemente, encontrando a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir os termos no numerador por
:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, temos:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis para poder integrar:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Integramos ambos os lados da equação:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Podemos simplificar a constante
para apenas
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.