Exercício 1. Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
(a) y^prime+(x+2) y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO de primeira ordem y'+(x+2)y^2=0. O método adequado para esse tipo de equação é separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevemos a derivada como dydx=-(x+2)y^2 e separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro: dyy^2=-(x+2),dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral -(x+2),dx
No lado esquerdo, integral y^-2dy = -1y. No direito, integral -(x+2)dx = -x^22 - 2x + C. Assim,
-1y = -x^22 - 2x + C

Passo 4

Multiplicamos por -1 e renomeamos a constante para obter
1y = x^22 + 2x + C
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Isolamos y invertendo a equação acima e chegamos à solução geral:
y = 1x^22 + 2x + C

Resposta

y = 1x^22 + 2x + C

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