Um funil cônico (sem tampa) de dimensões h=4 m e r=3 m será construído para auxiliar o armazenamento de grãos. Sabendo que o material utilizado na construção desse funil custa R por por . Usando diferencial, responda qual será o acréscimo de custo na construção desse funil se aumentarmos seu raio em Usando diferencial, responda qual será o acréscimo de custo na construção desse funil se aumentarmos seu raio em e sua altura e sua a.

Passo 1

No enunciado, temos um funil cônico sem tampa de raio inicial r=3 m e altura h=4 m. O custo do revestimento é de R$ 150,00 por m². Precisamos usar diferenciais para estimar o acréscimo no custo quando r aumenta 5% e h aumenta 3%.

Passo 2

A área lateral do cone, que é a superfície a ser revestida, é dada por S(r,h)=π·r·l, onde l=√(r²+h²) é a geratriz. Como não há tampa, não incluímos a base. O custo total é C=150·S(r,h).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de S em relação a r e a h. Em bloco, temos:
S(r,h)=pi,rraizr^2+h^2
Logo,
partial Spartial r=pil(raizr^2+h^2+r^2raizr^2+h^2r)epartial Spartial h=pir,hraizr^2+h^2

Passo 4

Substituindo r=3 m e h=4 m (logo √(r²+h²)=5 m), obtemos:
partial Spartial r|(3,4)=pil(5+95r)=6,8pi,,partial Spartial h|(3,4)=pi3cdot45=2,4pi

Passo 5

Os incrementos são dr=0{,}05·3=0{,}15 m e dh=0{,}03·4=0{,}12 m. Então o diferencial da área é
dS=partial Spartial r,dr+partial Spartial h,dh=6,8picdot0,15+2,4picdot0,12=1,308pi,m^2

Passo 6

Como o custo varia como C=150·S, temos dC=150·dS=150·1{,}308\pi≈196{,}2\pi≈616{,}4 reais.

Passo 7

Portanto, o acréscimo aproximado de custo é de cerca de R$ 616,40.

Resposta

O acréscimo aproximado de custo na construção do funil é de R$ 616,40.

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