Um funil cônico (sem tampa) de dimensões
e
será construído para auxiliar o armazenamento de grãos. Sabendo que o material utilizado na construção desse funil custa
por
. Usando diferencial, responda qual será o acréscimo de custo na construção desse funil se aumentarmos seu raio em
e sua altura
.
Passo 1
No enunciado, temos um funil cônico sem tampa de raio inicial r=3 m e altura h=4 m. O custo do revestimento é de R$ 150,00 por m². Precisamos usar diferenciais para estimar o acréscimo no custo quando r aumenta 5% e h aumenta 3%.
Passo 2
A área lateral do cone, que é a superfície a ser revestida, é dada por S(r,h)=π·r·l, onde l=√(r²+h²) é a geratriz. Como não há tampa, não incluímos a base. O custo total é C=150·S(r,h).
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de S em relação a r e a h. Em bloco, temos:
Logo,
Passo 4
Substituindo r=3 m e h=4 m (logo √(r²+h²)=5 m), obtemos:
Passo 5
Os incrementos são dr=0{,}05·3=0{,}15 m e dh=0{,}03·4=0{,}12 m. Então o diferencial da área é
Passo 6
Como o custo varia como C=150·S, temos dC=150·dS=150·1{,}308\pi≈196{,}2\pi≈616{,}4 reais.
Passo 7
Portanto, o acréscimo aproximado de custo é de cerca de R$ 616,40.
Resposta
O acréscimo aproximado de custo na construção do funil é de R$ 616,40.