Usando diferencieis encontre uma aproximação para: (1,1)^3,02.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar (1.1)^{3.02} usando diferenciais. Isso envolve linearização de uma função de duas variáveis e cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Definimos a função f(x,y)=x^y porque a base x varia de 1 para 1.1 e o expoente y varia de 3 para 3.02.

Passo 3

Calculamos o valor de f no ponto central (1,3): f(1,3)=1^3=1, que serve como referência exata.

Passo 4

As derivadas parciais de f são dadas por
partial fpartial x(x,y)=y,x^y-1,partial fpartial y(x,y)=x^yln x
Avaliamos essas derivadas em (1,3):
partial fpartial x(1,3)=3cdot1^2=3,partial fpartial y(1,3)=1^3ln1=0

Passo 5

Determinamos os incrementos: Δx=1.1−1=0.1 e Δy=3.02−3=0.02.

Passo 6

Aplicamos a fórmula da diferencial total:
De

Passo 7

Por fim, aproximamos (1.1)^{3.02} como f(1,3)+Δf = 1 + 0.3 = 1.3.

Resposta

1.3

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