Exercício 9 Vamos considerar uma corda de 40 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a=2 com deslocamento inicial f(x) e com uma velocidade inicial g(x) dados por
f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { se } 0 \leq x<20 \\\\ 40-x, \text { se } 20 \leq x \leq 40 \end{array}\right.
Resolva a equação diferencial parcial
\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ u(x, 0)=f(x), \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=g(x), 0<x<40 \\\ u(0, t)=0, u(40, t)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda unidimensional
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = 4\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
em 0<x<40\), com condições de contorno fixas \[u(0,t)=0,\quad u(40,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x),
onde f e g são ambos a função triangular
f(x)=g(x)= \begin{cases} x, &0\le x<20,\\\\ 40-x, &20\le x\le40. \end{cases}
O coeficiente da onda é c^2=4\], logo \(c=2. Vamos resolver por séries de senos (separação de variáveis e expansão de Fourier).

Passo 2

Pela separação de variáveis e pelas condições de contorno em zero, a solução geral é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\cos(\omega_n t)+B_n\sin(\omega_n t)\Bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr),
com frequências próprias
\omega_n = \frac{n\pi c}{40} = \frac{n\pi}{20}.
As constantes A_n e B_n vêm de expandir f e g em série de senos:
A_n = \frac{2}{40}\int_{0}^{40}f(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\,dx, \quad B_n = \frac{2}{40\,\omega_n}\int_{0}^{40}g(x)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\,dx.
Como f=g, teremos B_n = A_n/\omega_n.

Passo 3

Para calcular A_n\), partimos em dois trechos da integral: \[\int_{0}^{40}f(x)\sin(kx)\,dx =\int_{0}^{20}x\sin(kx)\,dx +\int_{20}^{40}(40-x)\sin(kx)\,dx,
com k=\tfrac{n\pi}{40}. Após cálculo (uso de integração por partes em cada trecho e simplificação) constata-se que
\int_{0}^{40}f(x)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{40}\bigr)\,dx =\begin{cases} 0, &n\text{ par},\\\ \dfrac{2(-1)^m}{k^2}, &n=2m+1\\ (\text{ímpar}). \end{cases}í
Logo, para n=2m+1\], \[A_{2m+1} =\frac{2}{40}\,\frac{2(-1)^m}{k^2} =\frac{1}{20}\,\frac{2(-1)^m}{( (2m+1)\pi/40 )^2} =\frac{160\,(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^2},\] e \(A_n=0 se n for par.

Passo 4

Como B_n = A_n/\omega_n e \omega_{2m+1}=(2m+1)\pi/20, temos
B_{2m+1} =\frac{A_{2m+1}}{\omega_{2m+1}} =\frac{160\,(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^2}\;\frac{20}{(2m+1)\pi} =\frac{3200\,(-1)^m}{(2m+1)^3\pi^3},
e B_n=0 para n par.

Passo 5

Substituindo na série, só restam os índices ímpares n=2m+1. Assim a solução é
u(x,t) =\sum_{m=0}^{\infty} \Bigl[ \frac{160\,(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^2}\, \cos\!\bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{20}\,t\bigr) + \frac{3200\,(-1)^m}{(2m+1)^3\pi^3}\, \sin\!\bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{20}\,t\bigr) \Bigr] \sin\!\bigl(\tfrac{(2m+1)\pi}{40}\,x\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{m=0}^{\infty} \left[ \frac{160\,(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^2}\, \cos\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi t}{20}\Bigr) + \frac{3200\,(-1)^m}{(2m+1)^3\pi^3}\, \sin\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi t}{20}\Bigr) \right] \sin\!\Bigl(\frac{(2m+1)\pi x}{40}\Bigr).

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