Exercício 9 Vamos considerar uma corda de 40 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a=2 com deslocamento inicial f(x) e com uma velocidade inicial g(x) dados por
f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { se } 0 \leq x<20 \\\\ 40-x, \text { se } 20 \leq x \leq 40 \end{array}\right.
Para calcular A_n\), partimos em dois trechos da integral:
\[\int_{0}^{40}f(x)\sin(kx)\,dx =\int_{0}^{20}x\sin(kx)\,dx +\int_{20}^{40}(40-x)\sin(kx)\,dx,
com k=\tfrac{n\pi}{40}. Após cálculo (uso de integração por partes em cada trecho e simplificação) constata-se que
Logo, para n=2m+1\],
\[A_{2m+1} =\frac{2}{40}\,\frac{2(-1)^m}{k^2} =\frac{1}{20}\,\frac{2(-1)^m}{( (2m+1)\pi/40 )^2} =\frac{160\,(-1)^m}{(2m+1)^2\pi^2},\]
e \(A_n=0 se n for par.
Passo 4
Como B_n = A_n/\omega_n e \omega_{2m+1}=(2m+1)\pi/20, temos