Exercício 7 Encontre a solução do Problema abaixo usando separação de variáveis
(P) \quad\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \\\ u(x, 0)=0, \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)=g(x), 0<x<L \\\ u(0, t)=0, u(L, t)=0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de corda vibrante regida pela equação wave
\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = a^{2}\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
com as condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x).
O método a usar é separação de variáveis e expansão em séries de senos.

Passo 2

Assumimos solução do tipo u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na PDE e dividindo por a^2 X T obtém-se
\frac{T''(t)}{a^2 T(t)} \;=\;\frac{X''(x)}{X(x)} \;=\;-\,\lambda,
onde \lambda é constante de separação.

Passo 3

O problema de autovalor para X(x) fica
X''(x)+\lambda\,X(x)=0,\quad X(0)=0,\;X(L)=0.
As soluções não-triviais ocorrem para
\lambda_{n}=\biggl(\frac{n\pi}{L}\biggr)^{2},\quad n=1,2,3,\dots,
com autofunções
X_{n}(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\,x\bigr).

Passo 4

Para cada \lambda_{n}, a equação para T(t) é
T''(t)+a^{2}\lambda_{n}\,T(t)=0
ou seja
T''(t)+\omega_{n}^{2}\,T(t)=0,\quad\omega_{n}=a\,\frac{n\pi}{L}.
A solução geral é
T_{n}(t)=A_{n}\cos(\omega_{n}t)+B_{n}\sin(\omega_{n}t).

Passo 5

Portanto a solução geral por superposição é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[A_{n}\cos(\omega_{n}t)+B_{n}\sin(\omega_{n}t)\Bigr]\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr).

Passo 6

Impondo u(x,0)=0
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)=0
para todo x, logo
A_{n}=0\quad\forall n.

Passo 7

A condição \partial u/\partial t(x,0)=g(x) fornece
\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) =\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\omega_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr) =g(x).
Para achar B_{n} expandimos g(x) em série de senos:
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr),
com
b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(s)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}s\bigr)\,ds.
Comparando coeficientes, vê-se
B_{n}\,\omega_{n}=b_{n} \quad\Longrightarrow\quad B_{n}=\frac{b_{n}}{\omega_{n}}.

Passo 8

Substituindo A_{n}=0 e B_{n}=b_{n}/\omega_{n} na série, a solução final é
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n}}{\omega_{n}}\, \sin(\omega_{n}t)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr),
onde
\omega_{n}=a\,\frac{n\pi}{L}, \quad b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}g(s)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}s\bigr)\,ds.

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{L}\, \biggl(\int_{0}^{L}g(s)\,\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}s\bigr)\,ds\biggr) \frac{1}{a\,\tfrac{n\pi}{L}}\, \sin\!\Bigl(a\,\tfrac{n\pi}{L}\,t\Bigr)\, \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\,x\bigr).

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