Exercício 7 Encontre a solução do Problema abaixo usando separação de variáveis
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de corda vibrante regida pela equação wave
com as condições de contorno homogêneas
e condições iniciais
O método a usar é separação de variáveis e expansão em séries de senos.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
. Substituindo na PDE e dividindo por
obtém-se
onde
é constante de separação.
Passo 3
O problema de autovalor para
fica
As soluções não-triviais ocorrem para
com autofunções
Passo 4
Para cada
, a equação para
é
ou seja
A solução geral é
Passo 5
Portanto a solução geral por superposição é
Passo 6
Impondo
dá
para todo
, logo
Passo 7
A condição
fornece
Para achar
expandimos
em série de senos:
com
Comparando coeficientes, vê-se
Passo 8
Substituindo
e
na série, a solução final é
onde