Exercício 2.8. Encontre uma solução para o problema
ut=K ux x+g(x, t) & se 0<x<L e t>0 ux(0, t)=ux(L, t)=0 & se t >= 0 u(x, 0)=f(x) & se 0 <= x <= L

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de calor com termo fonte
ut=K,uxx+g(x,t),&0<x<L,;t>0, ux(0,t)=ux(L,t)=0,&t>=0, u(x,0)=f(x),&0<= x<= L
O método mais natural é a expansão em autofunções do operador partialxx com condições de Neumann, usando séries de cossenos e o princípio de Duhamel para tratar g(x,t).

Passo 2

As autofunções e autovalores de
phi''(x)+lambdaphi(x)=0, phi'(0)=phi'(L)=0
são
phi0(x)=1 com lambda0=0, e para n>=1
phin(x)=cos!l(tfracnpi xLr), lambdan=l(tfracnpiLr)^2
Essas funções formam uma base ortogonal em [0,L].

Passo 3

Expandimos
u(x,t)=a0(t)+sumn=1^inftyan(t),cos!l(tfracnpi xLr), g(x,t)=b0(t)+sumn=1^inftybn(t),cos!l(tfracnpi xLr),
onde
a0(t)=1Lintegral0^Lu(x,t),dx, b0(t)=1Lintegral0^Lg(x,t),dx,
e para n>=1
an(t)=2Lintegral0^Lu(x,t)cos!l(tfracnpi xLr),dx, bn(t)=2Lintegral0^Lg(x,t)cos!l(tfracnpi xLr),dx
Projetando a EDP nessas autofunções obtemos, para n=0,
a0'(t)=b0(t),
e para n>=1,
an'(t)=-Klambdan,an(t)+bn(t)
As condições iniciais dão
a0(0)=1Lintegral0^Lf(x),dx, an(0)=2Lintegral0^Lf(x)cos!l(tfracnpi xLr),dx

Passo 4

Agora resolvemos as ODEs:
  1. Para n=0:
a0(t)=a0(0)+integral0^tb0(s),ds
  1. Para n>=1, usando fator integrante e^Klambdant:
an(t) =e^-Klambdant,an(0) +integral0^te^-Klambdan(t-s),bn(s),ds

Passo 5

Substituindo de volta na expansão de u, a solução final é
u(x,t) =a0(0)+integral0^tb0(s),ds +sumn=1^inftygl[ e^-Klambdant,an(0) +integral0^te^-Klambdan(t-s),bn(s),ds gr]cos!l(tfracnpi xLr)

Resposta

boxed u(x,t) =underbrace1Lintegral0^Lf(xi),dxia0(0) +integral0^t l(1Lintegral0^Lg(xi,s),dxir) ds +sumn=1^infty gl[e^-K(tfracnpiL)^2t 2L!integral0^Lf(xi)cos!l(tfracnpixiLr)dxi +integral0^te^-K(tfracnpiL)^2(t-s) 2L!integral0^Lg(xi,s)cos!l(tfracnpixiLr)dxi,ds gr] cos!l(tfracnpi xLr)

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