Calcule os limites das seguintes funções ou mostre que esse limite não existe:
lim (x, y, z) (4,4,4) (y-4)(z-4)raiz(x-4)^2+(y-4)^2+(z-4)^2

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de uma função de três variáveis quando (x,y,z)to(4,4,4):
lim(x,y,z)to(4,4,4) (y-4)(z-4)raiz(x-4)^2+(y-4)^2+(z-4)^2
O conteúdo aqui é limites em várias variáveis e uso de estimativas para mostrar que o valor tende a zero.

Passo 2

Para simplificar, façamos a troca de variáveis
h = x-4, k = y-4, l = z-4,
de modo que (h,k,l)to(0,0,0) e a função fica
f(h,k,l)=k,lraizh^2+k^2+l^2

Passo 3

Vamos estimar o valor absoluto de f. Denotando
r = raizh^2+k^2+l^2,
temos |k|<= r e |l|<= r, logo
|k,l|<= |k|;|l|<= rcdot r = r^2
Portanto
l|f(h,k,l)r| = |k,l|r <= r^2r = r

Passo 4

Como (h,k,l)to(0,0,0) implica rto0, concluímos que
l|f(h,k,l)r|<= r xrightarrow[rto0] 0,
ou seja, f(h,k,l)to0. Pelo critério de sanduíche e definição de limite, o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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