Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo ( a>0 denota uma constante real positive, enquanto t é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias. f(t)=\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t^{2}};
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier da função
f(t)=\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t^{2}},
onde a>0 é constante real e t\in\mathbb{R}. Vou trabalhar com a convenção usual
Esta decomposição é ótima porque expressa f(t) como soma de duas funções cujas transformadas podemos relacionar a fórmulas conhecidas.
Passo 3
Vou listar propriedades e transformadas que vou usar (cada uma com explicação rápida):
Linearidade: \mathcal{F}\{u+v\}=\mathcal{F}\{u\}+\mathcal{F}\{v\}\).
- Transformada de derivada: se \(h(t)\) é suficientemente bem comportada (no sentido de distribuições, com termos de contorno nulos), então
\[\mathcal{F}\{h'(t)\}(\omega)=i\omega\,\mathcal{F}\{h\}(\omega).
Explicação curta: derivar em t introduz um fator -i\omega ao derivar e^{-i\omega t} e integrar por partes; o sinal final é +i\omega por convenção usada.
Transformada da função t\mapsto \dfrac{\sin(at)}{t}: é um resultado clássico de tabelas de integrais/imporíprias (podemos obter por transformada inversa de uma função retangular). O resultado é, em sentido de distribuições,
onde \mathbf{1}_{[-a,a]} é a função indicadora do intervalo [-a,a]. Em palavras: a transformada é constante \pi para |\omega|<a e zero para |\omega|>a (valores na fronteira \omega=\pm a tomam a média).
Transformada da função principal valor 1/t: em sentido de principal value,
onde \operatorname{sgn}(\omega)=\begin{cases}+1,&\omega>0,\\\ 0,&\omega=0,\\\ -1,&\omega<0.\end{cases}\]
- Propriedade de modulação: multiplicar no tempo por \(e^{i a t} desloca a transformada em frequência: \mathcal{F}\{e^{i a t}g(t)\}(\omega)=G(\omega-a) se G é \mathcal{F}\{g\}.
Esses resultados são padrão em tabelas e podem ser justificados por integração e/ou argumento de transformada inversa; uso-os aqui porque o enunciado permite consultar tabelas de integrais impróprias.
Passo 4
Aplicando transformada na identidade do Passo 2 e usando linearidade:
Agora ainda falta \mathcal{F}\{\cos(at)/t\}. Escrevo \cos(at)=\tfrac{1}{2}(e^{i a t}+e^{-i a t}) e uso modulação e a transformada de 1/t:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\cos(at)}{t}\right\}(\omega) =\frac{1}{2}\Big(\mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{i a t}}{t}\right\}(\omega) +\mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{-i a t}}{t}\right\}(\omega)\Big).
Pela modulação e \mathcal{F}\{\operatorname{p.v.}1/t\}(\omega)=-i\pi\operatorname{sgn}(\omega), obtemos
\mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{i a t}}{t}\right\}(\omega)=-i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega-a), \qquad \mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{-i a t}}{t}\right\}(\omega)=-i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega+a).
pois para |\omega|<a isso dá -i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,|\omega|=-i\pi\omega e para |\omega|>a dá -i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,a.
Observação sobre \omega=\pm a: os valores na fronteira são os valores de meia soma (como é usual em transformadas de funções com descontinuidades); a formulação em termos de indicadoras ou em distribuição cobre esse caso.