Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo ( a>0 denota uma constante real positive, enquanto t é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias.
f(t)=\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t^{2}};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Fourier da função
f(t)=\frac{\operatorname{sen}(a t)}{t^{2}},
onde a>0 é constante real e t\in\mathbb{R}. Vou trabalhar com a convenção usual
\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(t)=\dfrac{\sin(at)}{t^{2}}.
  • A constante a é positiva ( a>0).
  • O objetivo é calcular \mathcal{F}\{f\}(\omega) para \omega\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro vou reescrever f(t) de forma que eu possa usar propriedades conhecidas da transformada. Faço derivação direta do quociente
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\sin(at)}{t}\right) =\frac{a\cos(at)\,t-\sin(at)}{t^{2}} = a\frac{\cos(at)}{t}-\frac{\sin(at)}{t^{2}}.
Rearranjando obtemos a identidade útil
\frac{\sin(at)}{t^{2}} = a\frac{\cos(at)}{t} - \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\sin(at)}{t}\right).
Esta decomposição é ótima porque expressa f(t) como soma de duas funções cujas transformadas podemos relacionar a fórmulas conhecidas.

Passo 3

Vou listar propriedades e transformadas que vou usar (cada uma com explicação rápida):
  • Linearidade: \mathcal{F}\{u+v\}=\mathcal{F}\{u\}+\mathcal{F}\{v\}\). - Transformada de derivada: se \(h(t)\) é suficientemente bem comportada (no sentido de distribuições, com termos de contorno nulos), então \[\mathcal{F}\{h'(t)\}(\omega)=i\omega\,\mathcal{F}\{h\}(\omega).
Explicação curta: derivar em t introduz um fator -i\omega ao derivar e^{-i\omega t} e integrar por partes; o sinal final é +i\omega por convenção usada.
  • Transformada da função t\mapsto \dfrac{\sin(at)}{t}: é um resultado clássico de tabelas de integrais/imporíprias (podemos obter por transformada inversa de uma função retangular). O resultado é, em sentido de distribuições,
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t}\right\}(\omega)=\pi\,\mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega),
onde \mathbf{1}_{[-a,a]} é a função indicadora do intervalo [-a,a]. Em palavras: a transformada é constante \pi para |\omega|<a e zero para |\omega|>a (valores na fronteira \omega=\pm a tomam a média).
  • Transformada da função principal valor 1/t: em sentido de principal value,
\mathcal{F}\!\left\{\operatorname{p.v.}\frac{1}{t}\right\}(\omega)=-i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega),
onde \operatorname{sgn}(\omega)=\begin{cases}+1,&\omega>0,\\\ 0,&\omega=0,\\\ -1,&\omega<0.\end{cases}\] - Propriedade de modulação: multiplicar no tempo por \(e^{i a t} desloca a transformada em frequência: \mathcal{F}\{e^{i a t}g(t)\}(\omega)=G(\omega-a) se G é \mathcal{F}\{g\}.
Esses resultados são padrão em tabelas e podem ser justificados por integração e/ou argumento de transformada inversa; uso-os aqui porque o enunciado permite consultar tabelas de integrais impróprias.

Passo 4

Aplicando transformada na identidade do Passo 2 e usando linearidade:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = a\,\mathcal{F}\!\left\{\frac{\cos(at)}{t}\right\}(\omega) - \mathcal{F}\!\left\{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\sin(at)}{t}\right)\right\}(\omega).
Pelo resultado da derivada:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\sin(at)}{t}\right)\right\}(\omega) = i\omega\,\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t}\right\}(\omega) = i\omega\cdot\pi\,\mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega).
Agora ainda falta \mathcal{F}\{\cos(at)/t\}. Escrevo \cos(at)=\tfrac{1}{2}(e^{i a t}+e^{-i a t}) e uso modulação e a transformada de 1/t:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\cos(at)}{t}\right\}(\omega) =\frac{1}{2}\Big(\mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{i a t}}{t}\right\}(\omega) +\mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{-i a t}}{t}\right\}(\omega)\Big).
Pela modulação e \mathcal{F}\{\operatorname{p.v.}1/t\}(\omega)=-i\pi\operatorname{sgn}(\omega), obtemos
\mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{i a t}}{t}\right\}(\omega)=-i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega-a), \qquad \mathcal{F}\!\left\{\frac{e^{-i a t}}{t}\right\}(\omega)=-i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega+a).
Logo
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\cos(at)}{t}\right\}(\omega) =-\frac{i\pi}{2}\big(\operatorname{sgn}(\omega-a)+\operatorname{sgn}(\omega+a)\big).

Passo 5

Simplifico a soma de sinais. Note que
\operatorname{sgn}(\omega-a)+\operatorname{sgn}(\omega+a)= \begin{cases} +2,&\omega>a,\\\\ 0,&|\omega|<a,\\\\ -2,&\omega<-a. \end{cases}
Ou seja, a soma vale 2\operatorname{sgn}(\omega) quando |\omega|>a e vale 0 quando |\omega|<a. Assim
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\cos(at)}{t}\right\}(\omega) =-i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\mathbf{1}_{\{|\omega|>a\}}(\omega),
onde \mathbf{1}_{\{|\omega|>a\}} é a indicadora do conjunto \{\,\omega:|\omega|>a\,\}.

Passo 6

Recolocando tudo na expressão do Passo 4:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = a\big(-i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\mathbf{1}_{\{|\omega|>a\}}(\omega)\big) - i\omega\big(\pi\,\mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega)\big).
Logo, de forma peçaada,
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = -i\pi\;a\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\mathbf{1}_{\{|\omega|>a\}}(\omega) - i\pi\;\omega\,\mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega).

Passo 7

Expressão mais compacta e intuitiva (peça a peça):
  • Para |\omega|<a tem-se \mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega)=1 e \mathbf{1}_{\{|\omega|>a\}}(\omega)=0, então
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = -i\pi\,\omega.
  • Para |\omega|>a tem-se \mathbf{1}_{[-a,a]}(\omega)=0 e \mathbf{1}_{\{|\omega|>a\}}(\omega)=1, então
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = -i\pi\,a\,\operatorname{sgn}(\omega).
Podemos também escrever de forma única e elegante usando \min:
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = -i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\min\big(|\omega|,a\big),
pois para |\omega|<a isso dá -i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,|\omega|=-i\pi\omega e para |\omega|>a -i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,a.
Observação sobre \omega=\pm a: os valores na fronteira são os valores de meia soma (como é usual em transformadas de funções com descontinuidades); a formulação em termos de indicadoras ou em distribuição cobre esse caso.

Resposta

\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = -i\pi\,\omega\quad\text{para }|\omega|<a,
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = -i\pi\,a\,\operatorname{sgn}(\omega)\quad\text{para }|\omega|>a.
ou, de forma compacta,
\mathcal{F}\!\left\{\frac{\sin(at)}{t^{2}}\right\}(\omega) = -i\pi\,\operatorname{sgn}(\omega)\,\min\big(|\omega|,a\big).

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