Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo ( a>0 denota uma constante real positive, enquanto t é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias. f(t)=\left\{\begin{array}{ll}t^{2} e^{-a t}, & t \geq 0 \\\\ 0, & t<0\end{array}\right..\
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função
onde a>0 é constante real e t é a variável real. A tarefa é encontrar \mathcal{F}\{f\}(\omega) como função de \omega (variável de frequência). As informações relevantes são:
f(t)=t^{2}e^{-a t} para t\ge0;
f(t)=0 para t<0;
a>0 garante convergência de integrais impróprias envolvendo e^{-a t}.]
Passo 2
Vou usar a convenção usual da transformada de Fourier
Segunda integração por partes para J(\sigma)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-\sigma t}\,dt: escolha u=t, dv=e^{-\sigma t}dt. Então du=dt, v=-\dfrac{1}{\sigma}e^{-\sigma t}. Assim