Exercício 1. Encontre as transformadas de Fourier das funções abaixo ( a>0 denota uma constante real positive, enquanto t é uma variável real). Quando necessário, utilize uma tabela de integrais impróprias. f(t)=\frac{\operatorname{sen}^{2}(a t)}{t};
Passo 1
O enunciado dá a função f(t)=\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(a t)}{t} com a>0 e pede a transformada de Fourier dessa função (variável de transformada será \omega). Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Primeiro escolho a convenção de transformada de Fourier que vou usar (isso é necessário para escrever o resultado final de forma precisa). Vou usar a convenção padrão
Justificativa curta: essa é a convenção mais comum em cursos de análise de sinais e facilita o uso direto de fórmulas tabeladas que relacionam integrais da forma \int e^{-i\omega t}/t. Vou também usar propriedades básicas: linearidade e a propriedade de modulação (deslocamento em frequência), que neste sinal implica
\mathcal{F}\{e^{i b t} g(t)\}(\omega)=\mathcal{F}\{g\}(\omega-b).
Outra fórmula tabela-útil (padrão, pode ser encontrada em tabelas de integrais impróprias ou obtida por contorno complexo) é a integral principal
Pela linearidade da transformada, é suficiente calcular separadamente \mathcal{F}\{1/t\} (no sentido de valor principal) e \mathcal{F}\{\cos(2a t)/t\}.
Passo 4
Calculo \mathcal{F}\{1/t\} usando a fórmula tabela indicada:
Combino as duas contribuições seguindo f(t)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\cos(2a t)}{t}. Assim a transformada \mathcal{F}\{f\}(\omega) vale
onde \mathbf{1}_{\{|\omega|<2a\}} é a função indicadora do intervalo aberto (-2a,2a). (Nos pontos \omega=\pm2a o valor pode ser tomado como zero ou tratado em sentido distributional; isso não altera a transformada como distribuição.)