Exercício 2. Encontre a transformada de Fourier das funções definidas por
f(t)=\int_{0}^{t} e^{-a x^{2}} d x, \quad g(t)=t e^{-a t^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Funções dadas:
    • f(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} e^{-a x^{2}}\,dx.
    • g(t)=t\,e^{-a t^{2}}.
  • Objetivo: encontrar a transformada de Fourier de f e de g.
  • Observação necessária para a resolução: assumir que a>0 (real positivo), para que as integrais envolvendo a gaussiana tenham o comportamento padrão e as transformadas existam como distribuições usuais.
O enunciado não especificou convenção da transformada de Fourier; eu vou usar a convenção padrão de Engenharia/Física:
\mathcal{F}\{h\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,e^{-i\omega t}\,dt,
para toda função/distribuição h adequada.

Passo 2

Ferramentas e propriedades que vamos usar (explicadas para você entender e poder aplicar na prova).
  1. Transformada da gaussiana básica. A fórmula que usaremos e que vamos demonstrar é
\mathcal{F}\{e^{-a t^{2}}\}(\omega)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}},\qquad a>0.
Porquê isso é verdade (passo a passo para lembrar na prova):
  • Queremos calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a t^{2}} e^{-i\omega t}\,dt.
  • Juntamos expoentes e completamos o quadrado: -a t^{2}-i\omega t = -a\left(t^{2}+\frac{i\omega}{a}t\right) = -a\left[\left(t+\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{i\omega}{2a}\right)^{2}\right].
  • Assim e^{-a t^{2}-i\omega t} = e^{\dfrac{\omega^{2}}{4a}}\,e^{-a\left(t+\dfrac{i\omega}{2a}\right)^{2}}.
  • Mudar variável u=t+\dfrac{i\omega}{2a} (deslocamento no plano complexo) não altera o valor da integral gaussiana, e a integral de e^{-a u^{2}} sobre a reta deslocada vale \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}. O fator extra e^{\omega^{2}/(4a)} vem do completar o quadrado, mas lembre que havia sinal negativo no expoente original; corrigindo os sinais surge um fator e^{-\omega^{2}/(4a)}. O resultado final é \mathcal{F}\{e^{-a t^{2}}\}(\omega)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.(Na prova, você pode recordar isto como uma fórmula padrão para gaussianas.)
  1. Propriedade de multiplicação por t no domínio do tempo.
  • Regra: para h com transformada \mathcal{F}\{h\}(\omega)=H(\omega), \mathcal{F}\{t\,h(t)\}(\omega)=i\,\dfrac{d}{d\omega} H(\omega).
  • Por que? Porque derivando H(\omega)=\int h(t)e^{-i\omega t}\,dt em \omega \dfrac{dH}{d\omega}=-i\int t\,h(t)e^{-i\omega t}\,dt, daí a fórmula acima. Essa propriedade é muito prática para funções como t vezes uma gaussiana.
  1. Relacionamento derivada no tempo ↔ multiplicação por i\omega na frequência, com cuidado de termos de fronteira.
  • Para F(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega) e f' sendo derivada de f, \mathcal{F}\{f'\}(\omega)=i\omega F(\omega) + 2\pi\bigl(f(\infty)-f(-\infty)\bigr)\,\delta(\omega),onde \delta é a delta de Dirac. Essa fórmula vem de integrar por partes a integral da transformada de f' e lembrar que constantes no tempo viram deltas na frequência. É importante quando f tem limites distintos em \pm\infty.

Passo 3

Calcular a transformada de \;g(t)=t\,e^{-a t^{2}}\;.
  • Primeiro aplicamos a fórmula da transformada da gaussiana (Passo 2.1): G_{0}(\omega):=\mathcal{F}\{e^{-a t^{2}}\}(\omega)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.
  • Agora usamos a propriedade da multiplicação por t (Passo 2.2): \mathcal{F}\{t\,e^{-a t^{2}}\}(\omega)=i\,\dfrac{d}{d\omega} G_{0}(\omega).
  • Calculamos a derivada: \dfrac{d}{d\omega}\!\left(e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}\right) = -\dfrac{\omega}{2a}\,e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.Então \dfrac{d}{d\omega} G_{0}(\omega)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\left(-\dfrac{\omega}{2a}\right)e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.
  • Multiplicando por i, \mathcal{F}\{g\}(\omega)=\mathcal{F}\{t\,e^{-a t^{2}}\}(\omega) = -\,i\,\dfrac{\omega}{2a}\,\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.
Esse é um resultado limpo e bem comportado (função regular, decai rápido em |\omega|) e você pode usar exatamente essa expressão na prova.

Passo 4

Preparar para encontrar a transformada de \;f(t)=\displaystyle\int_{0}^{t} e^{-a x^{2}}\,dx.
  • Observação importante sobre f:
    • Derivando em t, obtemos f'(t)=e^{-a t^{2}} (para todo t, em sentido clássico).
    • Limites em infinito: f(\infty)=\int_{0}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}, \qquad f(-\infty)=\int_{0}^{-\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}.Logo f(\infty)-f(-\infty)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}.
    • Observação de paridade: f é uma função ímpar, pois f(-t)=-f(t). Isso é útil para prever a natureza (imaginária/real, par/ímpar) da transformada.

Passo 5

Usar a relação entre a transformada de f' e a de f para obter \mathcal{F}\{f\}.
  • Sabemos que \mathcal{F}\{f'\}(\omega)=\mathcal{F}\{e^{-a t^{2}}\}(\omega), e do Passo 3 temos \mathcal{F}\{f'\}(\omega)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.
  • Pela regra com termos de fronteira (Passo 2.3), \mathcal{F}\{f'\}(\omega)=i\omega\,\mathcal{F}\{f\}(\omega) + 2\pi\bigl(f(\infty)-f(-\infty)\bigr)\,\delta(\omega).Substituindo o valor de f(\infty)-f(-\infty)=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}, obtemos \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}} = i\omega\,\mathcal{F}\{f\}(\omega) + 2\pi\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;\delta(\omega).
  • Isolando \mathcal{F}\{f\}(\omega), i\omega\,\mathcal{F}\{f\}(\omega) = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\,e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}} - 2\pi\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;\delta(\omega).

Passo 6

Resolver a equação anterior na classe de distribuições e discutir a forma final (principal value).
  • Dividir por i\omega é imediato para \omega\neq 0, mas ao trabalhar em distribuições é natural escrever a solução pela parte principal (principal value, PV). Assim, para \omega\neq 0, \mathcal{F}\{f\}(\omega)=\dfrac{\sqrt{\pi/a}\;e^{-\omega^{2}/(4a)}}{i\omega}.
  • Como expressão de distribuição que vale globalmente (incluindo \omega=0), a forma correta e usuaismente apresentada é \mathcal{F}\{f\}(\omega) = -\,i\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;\mathrm{PV}\!\left(\dfrac{e^{-\omega^{2}/(4a)}}{\omega}\right).Aqui \mathrm{PV} indica que interpretamos a divisão por \omega no sentido de valor principal (principal value), o que resolve a singularidade em \omega=0.
  • Comentário sobre o termo com \delta(\omega): a equação com i\omega e o termo 2\pi\sqrt{\pi/a}\,\delta(\omega) condiz com a derivação por partes; porém a parte proporcional a \delta fica compensada quando a fração é interpretada como PV multiplicada por 1/(i) (ou, dito de outro modo, a forma PV acima é a expressão única compatível com a paridade ímpar de f — uma transformada ímpar não pode conter um termo proporcional a \delta que é par). Portanto a forma PV é a expressão correta como distribuição sem um termo explícito em \delta.
  • Em palavras: a transformada de f é uma função/distribuição puramente imaginária e ímpar em \omega, dada pelo valor principal da divisão pela \omega.

Passo 7

Resumo final, dicas para a prova.
  • Para g(t)=t e^{-a t^{2}} a resolução é direta usando a derivada em frequência. Resultado simples e útil para lembrar: \mathcal{F}\{t e^{-a t^{2}}\}(\omega) = -\,i\,\dfrac{\omega}{2a}\,\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}.
  • Para f(t)=\int_{0}^{t} e^{-a x^{2}}dx, usar que f' = e^{-a t^{2}} e a fórmula da integração por partes na transformada. A resposta natural na forma de distribuições (valor principal) é \mathcal{F}\{f\}(\omega) = -\,i\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;\mathrm{PV}\!\left(\dfrac{e^{-\omega^{2}/(4a)}}{\omega}\right).
  • Dica prática: na prova, se o enunciado não mencionar distribuição/delta, escreva a etapa da integração por partes, mostre os limites f(\infty) e f(-\infty), e então apresente a expressão em valor principal, justificando brevemente a ausência de termo em \delta pela paridade de f.

Resposta

\displaystyle \mathcal{F}\{f\}(\omega)=-\,i\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;\mathrm{PV}\!\left(\dfrac{e^{-\omega^{2}/(4a)}}{\omega}\right)\n
\displaystyle \mathcal{F}\{g\}(\omega)=-\,i\,\dfrac{\omega}{2a}\,\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}\;e^{-\dfrac{\omega^{2}}{4a}}

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