Exercício 1. Considere a função
, que está definida em todo número real. Encontre a seguinte função auxiliar:
. Calcule
. Como podemos usar o valor desse limite para achar uma equação da reta tangente à curva
no ponto
?
Passo 1
O enunciado dá a função
, definida para todo
. Pede-se:
- Construir a função auxiliar
. - Calcular
. - Usar o valor desse limite para achar a equação da reta tangente à curva
no ponto .
Informações relevantes fornecidas:
-
. - O ponto considerado é
(verificar que ). - A função auxiliar é a razão
, que está indefinida em a priori, mas queremos o limite quando .
Passo 2
Calcular
explicitamente para usar em
.
Portanto
, o que confirma que o ponto dado
está na curva.
Passo 3
Substituir
e
na definição de
e simplificar o numerador passo a passo.
Organizando o polinômio no numerador por potências de
:
Para fatorar, observe o polinômio
. Agora fatoramos
. Calcule o discriminante:
raízes:
Logo
Voltemos ao numerador:
Substituindo na expressão de
:
Para
podemos cancelar o fator
, obtendo a forma simplificada:
Passo 4
Calcular o limite
. Como
simplificou para uma expressão contínua em torno de
, basta substituir
:
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 5
Interpretação didática do que esse limite significa (útil para a prova): a expressão
é a taxa média de variação de
entre
e
(frequentemente chamada de quociente diferencial). Quando tomamos o limite
dessa taxa média, obtemos a taxa instantânea de variação de
em
, isto é, a derivada
. Em termos geométricos, esse limite é exatamente o coeficiente angular (declive) da reta tangente à curva
no ponto
.
Assim o coeficiente angular da tangente no ponto
é
.
Passo 6
Encontrar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-declive. A equação ponto-declive de uma reta que passa por
com declive
é
Aqui
,
e
. Substituindo:
Simplificando:
Portanto a reta tangente à curva
no ponto
tem equação
.