Exercício 1. Considere a função f(x)=4 x-3 x^{2}, que está definida em todo número real. Encontre a seguinte função auxiliar: F(x)=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}. Calcule \lim _{x \rightarrow 2} F(x). Como podemos usar o valor desse limite para achar uma equação da reta tangente à curva y=4 x-3 x^{2} no ponto P=(2,-4) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=4x-3x^{2}, definida para todo x\in\mathbb{R}. Pede-se:
  • Construir a função auxiliar F(x)=\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}.
  • Calcular \lim_{x\to2}F(x).
  • Usar o valor desse limite para achar a equação da reta tangente à curva y=4x-3x^{2} no ponto P=(2,-4).
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=4x-3x^{2}.
  • O ponto considerado é P=(2,-4) (verificar que f(2)=-4).
  • A função auxiliar é a razão \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}, que está indefinida em x=2 a priori, mas queremos o limite quando x\to2.

Passo 2

Calcular f(2) explicitamente para usar em F(x).
f(2)=4\cdot 2-3\cdot 2^{2}=8-3\cdot 4=8-12=-4.
Portanto f(2)=-4, o que confirma que o ponto dado P=(2,-4) está na curva.

Passo 3

Substituir f(x) e f(2) na definição de F(x) e simplificar o numerador passo a passo.
F(x)=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(4x-3x^{2})-(-4)}{x-2}=\frac{4x-3x^{2}+4}{x-2}.
Organizando o polinômio no numerador por potências de x:
4x-3x^{2}+4 = -3x^{2}+4x+4.
Para fatorar, observe o polinômio -3x^{2}+4x+4 = -\bigl(3x^{2}-4x-4\bigr). Agora fatoramos 3x^{2}-4x-4. Calcule o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64,
raízes:
x=\frac{4\pm 8}{6}\quad\Rightarrow\quad x=2\quad\text{ou}\quad x=-\tfrac{2}{3}.
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3x^{2}-4x-4=(x-2)(3x+2).
Voltemos ao numerador:
-3x^{2}+4x+4 = -\bigl(3x^{2}-4x-4\bigr)=-(x-2)(3x+2).
Substituindo na expressão de F(x):
F(x)=\frac{-(x-2)(3x+2)}{x-2}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator (x-2), obtendo a forma simplificada:
F(x)=-(3x+2)\quad\text{para }x\neq 2.

Passo 4

Calcular o limite \lim_{x\to2}F(x). Como F(x) simplificou para uma expressão contínua em torno de x=2, basta substituir x=2:
\lim_{x\to2}F(x)=\lim_{x\to2}\bigl(-(3x+2)\bigr)=-(3\cdot 2+2)=-(6+2)=-8.
Portanto o limite existe e vale -8.

Passo 5

Interpretação didática do que esse limite significa (útil para a prova): a expressão
F(x)=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}
é a taxa média de variação de f entre x e 2 (frequentemente chamada de quociente diferencial). Quando tomamos o limite x\to 2 dessa taxa média, obtemos a taxa instantânea de variação de f em x=2, isto é, a derivada f'(2). Em termos geométricos, esse limite é exatamente o coeficiente angular (declive) da reta tangente à curva y=f(x) no ponto x=2.
Assim o coeficiente angular da tangente no ponto P é m=\lim_{x\to2}F(x)=-8.

Passo 6

Encontrar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-declive. A equação ponto-declive de uma reta que passa por (x_{0},y_{0}) com declive m é
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aqui x_{0}=2, y_{0}=-4 e m=-8. Substituindo:
y-(-4)=-8(x-2).
Simplificando:
y+4=-8x+16
y=-8x+12.
Portanto a reta tangente à curva y=4x-3x^{2} no ponto P=(2,-4) tem equação y=-8x+12.

Resposta

-8
y=-8x+12

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