Exercício 4 - No ensaio de uma bomba foram medidas:
Pressão atmosférica =743 \mathrm{~mm} \mathrm{Hg} \quad Temperatura da água =15 \mathrm{oC}
Vazão =75 \mathrm{m3} / \mathrm{h} \quad Perda de carga na aspiração =0,85 \mathrm{~m}
Determinar o coeficiente de cavitação desta máquina sendo hs =1 \mathrm{~m} e n/ \mathrm{n}_{\mathrm{s}}=45

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
Dados (pegos do enunciado):
  • Pressão atmosférica: 743\\ \mathrm{mm\\ Hg}.
  • Temperatura da água: 15^\circ\mathrm{C}.
  • Vazão: 75\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Perda de carga na aspiração (perda por atrito até a entrada da bomba): 0{,}85\\ \mathrm{m}.
  • Foi informado h_s=1\\ \mathrm{m}.
  • Foi informado n/n_s=45.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o coeficiente de cavitação da máquina (valor adimensional).
Observações imediatas sobre os dados (sem resolver ainda):
  • Para calcular o coeficiente de cavitação será preciso conhecer a pressão de vapor da água a 15^\circ\mathrm{C}.
  • A perda de carga na aspiração afeta a pressão no olho da bomba (reduz a altura disponível para evitar cavitação).
  • O enunciado não fornece diâmetro da tubulação, logo não há como calcular o termo de velocidade na entrada; portanto será assumido o tratamento clássico que inclui a perda de carga dada.
  • A razão n/n_s foi fornecida, mas não é necessária para o cálculo direto do coeficiente de cavitação pedido (explicarei isso depois).

Passo 2

Definir exatamente o que é o “coeficiente de cavitação” que vamos usar e explicar suas variáveis.
Uma definição comum e prática (nesta engenharia de bombas) é o número de Thoma (coeficiente de cavitação) \sigma, dado por:
\sigma=\frac{p_a/( \rho g ) - p_v/( \rho g ) - h_{f}}{h_s},
onde:
  • p_a é a pressão absoluta na superfície do reservatório (pressão atmosférica se o reservatório está aberto), em Pa;
  • p_v é a pressão de vapor do líquido à temperatura dada, em Pa;
  • \rho é a densidade do fluido (água) em \mathrm{kg/m^3};
  • g é a aceleração gravitacional em \mathrm{m/s^2};
  • h_{f} é a perda de carga na linha de aspiração, em \mathrm{m} (no enunciado: 0{,}85\\ \mathrm{m});
  • h_s é a referência de altura adotada para não dimensionalizar (aqui o enunciado deu h_s=1\\ \mathrm{m}); é a cabeça característica do conjunto (aqui é usada como denominador para tornar \sigma adimensional).
Interpretação física curta (didática):
  • O numerador expressa, em metros de coluna de água, a “altura disponível” para evitar que a pressão chegue à pressão de vapor: é a pressão absoluta na superfície convertida em metros de água, menos a pressão de vapor convertida em metros de água, e ainda reduzida pela perda de carga até o olho da bomba.
  • Dividindo por h_s (a cabeça característica) obtém-se um número adimensional que mede a propensão à cavitação comparada à cabeça da máquina. Quanto maior \sigma, menor a tendência à cavitação.
Constantes e aproximações que usaremos:
  • Para a água, adotaremos \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (valores usuais).
  • Conversão direta prática: 1\\ \mathrm{mm\\ Hg} equivale a aproximadamente 0{,}0135951\\ \mathrm{m} de coluna d’água (usando \rho_{\mathrm{agua}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}). Vou usar esse fator para converter as pressões dadas em \mathrm{mm\\ Hg} para metros de água.

Passo 3

Obter a pressão de vapor da água a 15^\circ\mathrm{C} e converter pressões para metros de coluna d’água.
Valor aproximado da pressão de vapor da água a 15^\circ\mathrm{C} (tabela de vapor): p_v \approx 12{,}8\\ \mathrm{mm\\ Hg}.
Converter p_a e p_v para metros de água usando 1\\ \mathrm{mm\\ Hg}=0{,}0135951\\ \mathrm{m\\ H_2O}.
Cálculos:
\frac{p_a}{\rho g}=743\\ (\mathrm{mm\\ Hg})\times 0{,}0135951\\ \frac{\mathrm{m\\ H_2O}}{\mathrm{mm\\ Hg}} =10{,}101\\ \mathrm{m}
\frac{p_v}{\rho g}=12{,}8\\ (\mathrm{mm\\ Hg})\times 0{,}0135951\\ \frac{\mathrm{m\\ H_2O}}{\mathrm{mm\\ Hg}} =0{,}1740\\ \mathrm{m}
Portanto, sem considerar perdas, a diferença p_a/( \rho g ) - p_v/( \rho g ) é:
10{,}101 - 0{,}1740 = 9{,}927\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Incluir a perda de carga na aspiração (reduz a altura disponível) e calcular o numerador efetivo.
A perda de carga na aspiração dada é h_f=0{,}85\\ \mathrm{m}. Subtraímos isso da diferença anterior:
\text{Altura disponível efetiva} = \frac{p_a}{\rho g} - \frac{p_v}{\rho g} - h_f =9{,}927 - 0{,}85 = 9{,}077\\ \mathrm{m}.í
(Se o problema tivesse pedido NPSH disponível absoluto, poderíamos manter essa altura; aqui a incluo no numerador do \sigma.)

Passo 5

Calcular o coeficiente de cavitação \sigma dividindo pela cabeça de referência h_s.
Usando h_s=1{,}00\\ \mathrm{m} (dado):
\sigma=\frac{9{,}077\\ \mathrm{m}}{1{,}00\\ \mathrm{m}}=9{,}077\approx 9{,}08.
Comentário didático final e sobre n/n_s:
  • O resultado é adimensional: \sigma\approx 9{,}08.
  • A razão n/n_s=45 fornecida no enunciado não foi necessária para este cálculo porque o coeficiente de cavitação (nesta forma clássica de Thoma) depende basicamente das pressões, perdas e da cabeça h_s. A velocidade de rotação influenciaria a curva característica da bomba (por exemplo a cabeça h_s depende de n), mas aqui h_s já foi dada explicitamente como 1\\ \mathrm{m}, portanto não foi preciso usar n/n_s.
  • Observação prática: em problemas mais completos seria possível incluir termo de velocidade \dfrac{v^2}{2g} no numerador (quando se considera conversão de energia cinética na entrada); aqui não há diâmetro de tubulação para calcular v, e o exercício fornece explicitamente as perdas, então a inclusão do termo de velocidade foi dispensada.

Resposta

\sigma \approx 9{,}08

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