Exercício 2 - Um sistema de abastecimento público de água necessita bombear 100 \mathrm{~m} 3 / \mathrm{h} de uma estação de tratamento de água para um reservatório elevado de distribuição por gravidade. Determine o diâmetro econômico da tubulação e a potência do conjunto motor bomba considerando:
Rendimento do conjunto motor-bomba =0,75 \quad \mathrm{~K} da fórmula de Bresse =1,2 \quad \mathrm{C}=100
Na sucção: No recalque
Desnível geométrico =4 \mathrm{~m} Desnível geométrico de 51 m
1 válvula de pé com crivo 4 registros de gaveta abertos
3 curva de 90^{\circ} 1 válvula de retenção
1 redução gradual 12 curvas de 45^{\circ}
Ls =20 \mathrm{~m} 6 curvas de 90^{\circ}
1 entrada de reservatório normal
1 ampliação gradual
\mathrm{Lr}=2000 \mathrm{~m}
OBS: Utilize o método dos comprimentos virtuais para determinar as perdas localizadas

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o diâmetro econômico da tubulação que deve transportar \,100\\ \mathrm{m^3/h}\,.
  • Determinar a potência do conjunto motor–bomba, sabendo que o rendimento do conjunto é \,0{,}75, que na fórmula de Bresse foi fornecido \,K=1{,}2 e que \,C=100.
Dados numéricos extraídos do enunciado:
  • Vazão: \,Q=100\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Rendimento do conjunto motor–bomba: \,\eta=0{,}75.
  • Constantes para a fórmula de Bresse: \,K=1{,}2 e \,C=100.
  • Geometrias / comprimentos:
    • Sucção: desnível geométrico =4\\ \mathrm{m}; \,L_s=20\\ \mathrm{m}; 1 válvula de pé com crivo; 3 curvas de 90^\circ; 1 redução gradual.
    • Recalque: desnível geométrico =51\\ \mathrm{m}; \,L_r=2000\\ \mathrm{m}; 4 registros de gaveta abertos; 12 curvas de 45^\circ; 6 curvas de 90^\circ; 1 válvula de retenção; 1 entrada de reservatório normal; 1 ampliação gradual.
  • Observação: o enunciado pede uso do método dos comprimentos virtuais (equivalentes) para as perdas localizadas.
Vou usar o enunciado tal qual e aplicar a fórmula de Bresse para achar o diâmetro econômico e depois calcular as perdas totais (atendo a virtual lengths) e a potência necessária.

Passo 2

Conversão de unidades essenciais e interpretação do desnível total que a bomba deve vencer.
  • Converter a vazão para \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{100}{3600}=0{,}0277778\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Interpretação do desnível geométrico: a sucção tem desnível de 4\\ \mathrm{m} (nível do corpo de água abaixo da bomba) e o recalque tem desnível de 51\\ \mathrm{m} (reservatório acima da bomba). Assim a altura estática total que a bomba precisa vencer é
H_{\text{est}}=4+51=55\\ \mathrm{m}.
(assumo que os dois desníveis somam porque a bomba suga de um nível 4\\ \mathrm{m} abaixo e descarga a 51\\ \mathrm{m} acima do ponto de referência da bomba.)

Passo 3

Explicação didática da fórmula de Bresse usada para diâmetro econômico (contexto e aplicação).
  • Ideia rápida: existe uma fórmula empírica (conhecida como fórmula de Bresse, muito usada em tarefas de projeto) que dá um diâmetro econômico em função da vazão. Essa fórmula foi deduzida minimizando custo de tubulação versus custo de energia e aparece, em prática comum, na forma
D_e = K \, Q^{3/8},
onde:
  • \,D_e é o diâmetro econômico (normalmente dado em polegadas se Q estiver em \mathrm{m^3/h} e K for o fator empírico adequado),
  • \,Q é a vazão em \mathrm{m^3/h},
  • \,K é uma constante empírica que incorpora preços relativos de tubulação/energia e unidades (aqui foi fornecida \,K=1{,}2).
  • Observação sobre unidades: a forma prática que vou usar é aquela usual em muitos exercícios de Bresse: Q em \mathrm{m^3/h} e D_e resultando em polegadas quando se usa \,K=1{,}2. Depois converto para metros. (É uma convenção prática usada por muitos textos e pela própria fórmula empírica de Bresse.)

Passo 4

Aplicar a fórmula empírica de Bresse para obter o diâmetro econômico (cálculo direto).
  • Usando \,Q=100\\ \mathrm{m^3/h} e \,K=1{,}2:
D_e(\text{polegadas}) = 1{,}2 \cdot 100^{3/8}.
Calculemos 100^{3/8}:
100^{3/8} = \exp\!\bigg(\frac{3}{8}\ln 100\bigg) \approx \exp(1{,}72694)\approx 5{,}623.
Logo
D_e(\text{polegadas}) \approx 1{,}2 \times 5{,}623 \approx 6{,}747\\ \text{polegadas}.
  • Converter para metros ( 1\\ \text{polegada}=0{,}0254\\ \mathrm{m}):
D_e = 6{,}747 \times 0{,}0254 \approx 0{,}1714\\ \mathrm{m}.
Comentário prático: o diâmetro econômico calculado pela fórmula é \,D_e\approx0{,}171\\ \mathrm{m} (aprox. 171\\ \mathrm{mm}). Em projeto real escolhe-se um diâmetro comercial próximo (por exemplo 150\\ \mathrm{mm} ou 200\\ \mathrm{mm}); aqui vamos usar o valor econômico calculado \,0{,}1714\\ \mathrm{m} para determinar a potência, e depois comentar sobre o arredondamento comercial.

Passo 5

Método dos comprimentos virtuais: explicação e escolha dos valores de equivalência usados.
  • Ideia: cada peça (válvula, curva, entrada, redução, etc.) provoca uma perda localizada que pode ser representada como um “comprimento equivalente” L_e de tubo reto que produz a mesma perda. Em tabelas técnicas encontra-se o valor adimensional \,L_e/D para cada peça; então o comprimento equivalente real é \,L_e = (L_e/D)\cdot D. Somando todos os L_e às extensões reais obtém-se o comprimento hidráulico total para usar na fórmula de perda por atrito.
  • Para ser prático e ensinar o procedimento passo a passo, escolhi valores típicos de tabelas correntes (valores de referência usados em muitos cursos). Vou listá‑los explicitamente — estes são os valores que uso como “tabela padrão” nesta resolução:
    • Válvula de pé com crivo: (L_e/D)=150.
    • Curva de 90^\circ (com raio comercial): (L_e/D)=30.
    • Redução gradual: (L_e/D)=20.
    • Registro (gaveta) aberto: (L_e/D)=8.
    • Válvula de retenção (check valve): (L_e/D)=50.
    • Curva de 45^\circ: (L_e/D)=16.
    • Entrada em reservatório normal: (L_e/D)=10.
    • Ampliação gradual: (L_e/D)=5.
  • Observação importante (honesta): esses (L_e/D) são valores típicos de tabelas didáticas; em projeto real usa‑se a tabela do fabricante ou a tabela da norma adotada pelo engenheiro. Aqui uso-os para demonstrar o método pedido no enunciado.

Passo 6

Calcular a soma dos comprimentos equivalentes e o comprimento hidráulico total em função do diâmetro.
  • Calcular a soma \sum (L_e/D) usando as quantidades fornecidas:
    • Sucção:
      • 1 válvula de pé com crivo: 1\times150=150.
      • 3 curvas de 90^\circ: 3\times30=90.
      • 1 redução gradual: 1\times20=20.
      • Soma sucção: 150+90+20=260.
    • Recalque:
      • 4 registros (gaveta) abertos: 4\times8=32.
      • 12 curvas de 45^\circ: 12\times16=192.
      • 6 curvas de 90^\circ: 6\times30=180.
      • 1 válvula de retenção: 1\times50=50.
      • 1 entrada de reservatório normal: 1\times10=10.
      • 1 ampliação gradual: 1\times5=5.
      • Soma recalque: 32+192+180+50+10+5=469.
    • Soma total das equivalências:
\sum \frac{L_e}{D} = 260 + 469 = 729.
  • Comprimento real total (comprimento reto fornecido):
L_{\text{real}} = L_s + L_r = 20 + 2000 = 2020\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento hidráulico total (função de D):
L_{\text{tot}} = L_{\text{real}} + D \cdot \sum\frac{L_e}{D} = 2020 + 729\,D.
(isto porque cada L_e=(L_e/D)\cdot D e somando dá D\cdot\sum(L_e/D).)

Passo 7

Perda por atrito (fórmula de Bresse para perda por unidade de comprimento) e cálculo numérico.
  • A expressão prática que usaremos (forma de Bresse / Hazen‑Williams adaptada para o contexto do exercício) para perda por unidade de comprimento J (em \mathrm{m} de carga por metro de tubo) é:
J = K \,\frac{Q^{1{,}85}}{C^{1{,}85}\,D^{4{,}87}},
onde:
  • J é a perda por unidade de comprimento \mathrm{(m/m)},
  • Q em \mathrm{m^3/s},
  • C é a rugosidade de Hazen‑Williams (aqui dado \,C=100),
  • D em \mathrm{m},
  • e K é o fator fornecido ( \,K=1{,}2).
(Comentário didático: essa é a forma prática usada em muitos cursos; os expoentes 1{,}85 e 4{,}87 vêm do ajuste experimental da fórmula Hazen–Williams/Bresse.)
  • Substituindo o fator numérico conhecido para a vazão:
    • Calcule Q^{1{,}85} com Q=0{,}0277778\\ \mathrm{m^3/s}:
Q^{1{,}85}\approx (0{,}0277778)^{1{,}85}\approx 0{,}001312.
  • Calcule C^{1{,}85}=100^{1{,}85}\approx 5{,}029.
  • Então o coeficiente multiplicador fica aproximadamente:
K\frac{Q^{1{,}85}}{C^{1{,}85}}\approx 1{,}2\cdot\frac{0{,}001312}{5029}\approx 3{,}126\times10^{-7}.
  • Logo podemos escrever
J \approx 3{,}126\times10^{-7}\,D^{-4{,}87}\quad(\mathrm{m/m}).
  • A perda total por atrito ao longo do comprimento hidráulico é:
H_f = J\cdot L_{\text{tot}} = 3{,}126\times10^{-7}\,D^{-4{,}87}\, (2020 + 729D).

Passo 8

Avaliar H_f para o diâmetro econômico calculado \,D_e=0{,}1714\\ \mathrm{m} e calcular as perdas totais e a potência.
  • Calcule D^{-4{,}87} com D=0{,}1714\\ \mathrm{m}:
D^{-4{,}87}\approx 5{,}327{\times}10^{3}.
(este valor vem do cálculo \exp(-4{,}87\ln D); apresentei o número final para seguir com as contas.)
  • Calcule D^{-3{,}87} (aparece ao multiplicar o termo em 729D):
D^{-3{,}87}\approx 910{,}6.
  • Agora calcule os dois termos em H_f:
    • Primeiro termo: 3{,}126\times10^{-7}\times 2020 \times D^{-4{,}87}:
3{,}126\times10^{-7}\times 2020 \times 5327 \approx 3{,}366\\ \mathrm{m}.
  • Segundo termo: 3{,}126\times10^{-7}\times 729 \times D^{-3{,}87}:
3{,}126\times10^{-7}\times 729 \times 910{,}6 \approx 0{,}208\\ \mathrm{m}.
  • Soma:
H_f \approx 3{,}366 + 0{,}208 \approx 3{,}574\\ \mathrm{m}.
  • Perda total (altura total que a bomba deve fornecer) é a soma da elevação estática e das perdas por atrito:
H_{\text{total}} = H_{\text{est}} + H_f = 55 + 3{,}574 \approx 58{,}574\\ \mathrm{m}.
  • Potência hidráulica (potência no eixo da bomba), usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
P_{\text{hid}} = \rho g Q H_{\text{total}} = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0277778 \cdot 58{,}574.
Calcule numericamente:
P_{\text{hid}} \approx 15{,}96\\ \mathrm{kW}.
  • Como o rendimento do conjunto motor–bomba é \eta=0{,}75, a potência solicitada ao motor (potência elétrica necessária) é:
P_{\text{motor}} = \frac{P_{\text{hid}}}{\eta} = \frac{15{,}96}{0{,}75} \approx 21{,}28\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Interpretação prática e comentário sobre escolha de diâmetro comercial.
  • Resultado do diâmetro econômico pela fórmula de Bresse: \,D_e\approx 0{,}1714\\ \mathrm{m} (aprox. 171\\ \mathrm{mm}, ou 6{,}75 polegadas).
  • Em projeto prático, escolhe‑se um diâmetro comercial próximo: valores comerciais tipicamente disponíveis perto disso são 150\\ \mathrm{mm} (menor) e 200\\ \mathrm{mm} (maior). O valor teórico \,0{,}1714\\ \mathrm{m} já será usado para estimativa da potência. Se a tubulação for escolhida comercialmente como 150\\ \mathrm{mm} a perda e a potência aumentariam; se escolhida 200\\ \mathrm{mm} diminuiriam, mas o custo de tubulação aumentaria. A fórmula de Bresse mostra que o ponto econômico fica perto de 171\\ \mathrm{mm}.

Resposta

Diâmetro econômico D_e \approx 0{,}171\\ \mathrm{m} (aprox. 171\\ \mathrm{mm}).
Potência do conjunto motor–bomba P_{\text{motor}} \approx 21{,}3\\ \mathrm{kW}.

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