Exercício 2 - Um sistema de abastecimento público de água necessita bombear
de uma estação de tratamento de água para um reservatório elevado de distribuição por gravidade. Determine o diâmetro econômico da tubulação e a potência do conjunto motor bomba considerando:
Rendimento do conjunto motor-bomba
da fórmula de Bresse
Na sucção:
No recalque
Desnível geométrico
Desnível geométrico de 51 m
1 válvula de pé com crivo
4 registros de gaveta abertos
3 curva de
1 válvula de retenção
1 redução gradual
12 curvas de
Ls
6 curvas de
1 entrada de reservatório normal
1 ampliação gradual
OBS: Utilize o método dos comprimentos virtuais para determinar as perdas localizadas
Rendimento do conjunto motor-bomba
| Na sucção: | No recalque |
| Desnível geométrico
|
Desnível geométrico de 51 m |
| 1 válvula de pé com crivo | 4 registros de gaveta abertos |
| 3 curva de
|
1 válvula de retenção |
| 1 redução gradual | 12 curvas de
|
| Ls
|
6 curvas de
|
| 1 entrada de reservatório normal | |
| 1 ampliação gradual | |
|
|
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o diâmetro econômico da tubulação que deve transportar
. - Determinar a potência do conjunto motor–bomba, sabendo que o rendimento do conjunto é
, que na fórmula de Bresse foi fornecido e que .
Dados numéricos extraídos do enunciado:
- Vazão:
. - Rendimento do conjunto motor–bomba:
. - Constantes para a fórmula de Bresse:
e . - Geometrias / comprimentos:
- Sucção: desnível geométrico
; ; 1 válvula de pé com crivo; 3 curvas de ; 1 redução gradual. - Recalque: desnível geométrico
; ; 4 registros de gaveta abertos; 12 curvas de ; 6 curvas de ; 1 válvula de retenção; 1 entrada de reservatório normal; 1 ampliação gradual.
- Sucção: desnível geométrico
- Observação: o enunciado pede uso do método dos comprimentos virtuais (equivalentes) para as perdas localizadas.
Vou usar o enunciado tal qual e aplicar a fórmula de Bresse para achar o diâmetro econômico e depois calcular as perdas totais (atendo a virtual lengths) e a potência necessária.
Passo 2
Conversão de unidades essenciais e interpretação do desnível total que a bomba deve vencer.
- Converter a vazão para
:
- Interpretação do desnível geométrico: a sucção tem desnível de
(nível do corpo de água abaixo da bomba) e o recalque tem desnível de (reservatório acima da bomba). Assim a altura estática total que a bomba precisa vencer é
(assumo que os dois desníveis somam porque a bomba suga de um nível
abaixo e descarga a
acima do ponto de referência da bomba.)
Passo 3
Explicação didática da fórmula de Bresse usada para diâmetro econômico (contexto e aplicação).
- Ideia rápida: existe uma fórmula empírica (conhecida como fórmula de Bresse, muito usada em tarefas de projeto) que dá um diâmetro econômico em função da vazão. Essa fórmula foi deduzida minimizando custo de tubulação versus custo de energia e aparece, em prática comum, na forma
onde:
-
é o diâmetro econômico (normalmente dado em polegadas se estiver em e for o fator empírico adequado), -
é a vazão em , -
é uma constante empírica que incorpora preços relativos de tubulação/energia e unidades (aqui foi fornecida ). -
Observação sobre unidades: a forma prática que vou usar é aquela usual em muitos exercícios de Bresse:
em e resultando em polegadas quando se usa . Depois converto para metros. (É uma convenção prática usada por muitos textos e pela própria fórmula empírica de Bresse.)
Passo 4
Aplicar a fórmula empírica de Bresse para obter o diâmetro econômico (cálculo direto).
- Usando
e :
Calculemos
:
Logo
- Converter para metros (
):
Comentário prático: o diâmetro econômico calculado pela fórmula é
(aprox.
). Em projeto real escolhe-se um diâmetro comercial próximo (por exemplo
ou
); aqui vamos usar o valor econômico calculado
para determinar a potência, e depois comentar sobre o arredondamento comercial.
Passo 5
Método dos comprimentos virtuais: explicação e escolha dos valores de equivalência usados.
-
Ideia: cada peça (válvula, curva, entrada, redução, etc.) provoca uma perda localizada que pode ser representada como um “comprimento equivalente”
de tubo reto que produz a mesma perda. Em tabelas técnicas encontra-se o valor adimensional para cada peça; então o comprimento equivalente real é . Somando todos os às extensões reais obtém-se o comprimento hidráulico total para usar na fórmula de perda por atrito. -
Para ser prático e ensinar o procedimento passo a passo, escolhi valores típicos de tabelas correntes (valores de referência usados em muitos cursos). Vou listá‑los explicitamente — estes são os valores que uso como “tabela padrão” nesta resolução:
- Válvula de pé com crivo:
. - Curva de
(com raio comercial): . - Redução gradual:
. - Registro (gaveta) aberto:
. - Válvula de retenção (check valve):
. - Curva de
: . - Entrada em reservatório normal:
. - Ampliação gradual:
.
- Válvula de pé com crivo:
-
Observação importante (honesta): esses
são valores típicos de tabelas didáticas; em projeto real usa‑se a tabela do fabricante ou a tabela da norma adotada pelo engenheiro. Aqui uso-os para demonstrar o método pedido no enunciado.
Passo 6
Calcular a soma dos comprimentos equivalentes e o comprimento hidráulico total em função do diâmetro.
- Calcular a soma
usando as quantidades fornecidas: - Sucção:
- 1 válvula de pé com crivo:
. - 3 curvas de
: . - 1 redução gradual:
. - Soma sucção:
.
- 1 válvula de pé com crivo:
- Recalque:
- 4 registros (gaveta) abertos:
. - 12 curvas de
: . - 6 curvas de
: . - 1 válvula de retenção:
. - 1 entrada de reservatório normal:
. - 1 ampliação gradual:
. - Soma recalque:
.
- 4 registros (gaveta) abertos:
- Soma total das equivalências:
- Sucção:
- Comprimento real total (comprimento reto fornecido):
- Comprimento hidráulico total (função de
):
(isto porque cada
e somando dá
.)
Passo 7
Perda por atrito (fórmula de Bresse para perda por unidade de comprimento) e cálculo numérico.
- A expressão prática que usaremos (forma de Bresse / Hazen‑Williams adaptada para o contexto do exercício) para perda por unidade de comprimento
(em de carga por metro de tubo) é:
onde:
-
é a perda por unidade de comprimento , -
em , -
é a rugosidade de Hazen‑Williams (aqui dado ), -
em , - e
é o fator fornecido ( ).
(Comentário didático: essa é a forma prática usada em muitos cursos; os expoentes
e
vêm do ajuste experimental da fórmula Hazen–Williams/Bresse.)
- Substituindo o fator numérico conhecido para a vazão:
- Calcule
com :
- Calcule
- Calcule
. - Então o coeficiente multiplicador fica aproximadamente:
- Logo podemos escrever
- A perda total por atrito ao longo do comprimento hidráulico é:
Passo 8
Avaliar
para o diâmetro econômico calculado
e calcular as perdas totais e a potência.
- Calcule
com :
(este valor vem do cálculo
; apresentei o número final para seguir com as contas.)
- Calcule
(aparece ao multiplicar o termo em ):
- Agora calcule os dois termos em
: - Primeiro termo:
:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
:
- Soma:
- Perda total (altura total que a bomba deve fornecer) é a soma da elevação estática e das perdas por atrito:
- Potência hidráulica (potência no eixo da bomba), usando
e :
Calcule numericamente:
- Como o rendimento do conjunto motor–bomba é
, a potência solicitada ao motor (potência elétrica necessária) é:
Passo 9
Interpretação prática e comentário sobre escolha de diâmetro comercial.
- Resultado do diâmetro econômico pela fórmula de Bresse:
(aprox. , ou polegadas). - Em projeto prático, escolhe‑se um diâmetro comercial próximo: valores comerciais tipicamente disponíveis perto disso são
(menor) e (maior). O valor teórico já será usado para estimativa da potência. Se a tubulação for escolhida comercialmente como a perda e a potência aumentariam; se escolhida diminuiriam, mas o custo de tubulação aumentaria. A fórmula de Bresse mostra que o ponto econômico fica perto de .
Resposta
Diâmetro econômico
(aprox.
).
Potência do conjunto motor–bomba .
Potência do conjunto motor–bomba