Dadas as matrizes \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 2 & -5\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 2 & 1\end{array}\right), verifique se a matriz \mathbf{B} é a matriz inversa de \mathbf{A}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas 2\times2:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\[4pt] 2 & -5\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}5 & 3 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
e pede para verificar se \mathbf{B} é a matriz inversa de \mathbf{A}.
Informações relevantes: as entradas de \mathbf{A} e \mathbf{B} estão todas dadas e ambas são quadradas 2\times2. O que precisamos checar é se ao multiplicar \mathbf{A} por \mathbf{B} (e, idealmente, \mathbf{B} por \mathbf{A}) obtemos a matriz identidade 2\times2:
\mathbf{I}_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Definição e ideia prática (aula rapidinha): dizer que \mathbf{B} é inversa de \mathbf{A} significa que ao multiplicarmos \mathbf{A} por \mathbf{B} obtemos a identidade e também \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}_2. Para matrizes quadradas, ter uma inversa significa que existe uma matriz \mathbf{A}^{-1} tal que
\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}_2.
Como multiplicar matrizes 2\times2: se
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\[4pt] x_{21} & x_{22}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{Y}=\begin{pmatrix}y_{11} & y_{12} \\[4pt] y_{21} & y_{22}\end{pmatrix},
então o produto \mathbf{X}\mathbf{Y} tem entradas dadas por somas de produtos linha-por-coluna:
(\mathbf{X}\mathbf{Y})_{11}=x_{11}y_{11}+x_{12}y_{21},
(\mathbf{X}\mathbf{Y})_{12}=x_{11}y_{12}+x_{12}y_{22},
(\mathbf{X}\mathbf{Y})_{21}=x_{21}y_{11}+x_{22}y_{21},
(\mathbf{X}\mathbf{Y})_{22}=x_{21}y_{12}+x_{22}y_{22}.
Vou aplicar isso a \mathbf{A} e \mathbf{B} passo a passo.]

Passo 3

Calcular \mathbf{A}\mathbf{B}. Usando a regra linha-por-coluna:
Primeira linha, primeira coluna:
(\mathbf{A}\mathbf{B})_{11}=(-1)\cdot 5 + 3\cdot 2 = -5 + 6 = 1.
Primeira linha, segunda coluna:
(\mathbf{A}\mathbf{B})_{12}=(-1)\cdot 3 + 3\cdot 1 = -3 + 3 = 0.
Segunda linha, primeira coluna:
(\mathbf{A}\mathbf{B})_{21}=2\cdot 5 + (-5)\cdot 2 = 10 - 10 = 0.
Segunda linha, segunda coluna:
(\mathbf{A}\mathbf{B})_{22}=2\cdot 3 + (-5)\cdot 1 = 6 - 5 = 1.
Portanto
\mathbf{A}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\mathbf{I}_2.]

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: obtivemos \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I}_2. Para matrizes quadradas, isso já indica fortemente que \mathbf{B} é a inversa direita de \mathbf{A}. Para ficar completamente seguro (e porque é simples calcular), vou também verificar o produto na ordem inversa \mathbf{B}\mathbf{A}.

Passo 5

Calcular \mathbf{B}\mathbf{A}. Novamente, entrada a entrada:
Primeira linha, primeira coluna:
(\mathbf{B}\mathbf{A})_{11}=5\cdot(-1) + 3\cdot 2 = -5 + 6 = 1.
Primeira linha, segunda coluna:
(\mathbf{B}\mathbf{A})_{12}=5\cdot 3 + 3\cdot(-5) = 15 - 15 = 0.
Segunda linha, primeira coluna:
(\mathbf{B}\mathbf{A})_{21}=2\cdot(-1) + 1\cdot 2 = -2 + 2 = 0.
Segunda linha, segunda coluna:
(\mathbf{B}\mathbf{A})_{22}=2\cdot 3 + 1\cdot(-5) = 6 - 5 = 1.
Logo
\mathbf{B}\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\mathbf{I}_2.]

Passo 6

Verificação extra pelo determinante e fórmula da inversa de 2\times2 (pra você decorar e usar na prova): para
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é \det(\mathbf{A})=ad-bc. Se \det(\mathbf{A})\neq 0, então
\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando em \mathbf{A} com a=-1, b=3, c=2, d=-5:
\det(\mathbf{A}) = (-1)(-5) - 3\cdot 2 = 5 - 6 = -1 \neq 0.
Logo \mathbf{A} é invertível e
\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}-5 & -3 \\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 3 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix},
que é exatamente \mathbf{B}.]

Passo 7

Conclusão final a partir dos passos anteriores: calculamos \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I}_2 e \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}_2, e pela fórmula da inversa de 2\times2 também obtivemos \mathbf{A}^{-1}=\mathbf{B}. Portanto \mathbf{B} é de fato a matriz inversa de \mathbf{A}.

Resposta

Sim, \mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}.

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