Dadas as matrizes \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 3 \\\\ 2 & -5\end{array}\right) e \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}5 & 3 \\\\ 2 & 1\end{array}\right), verifique se a matriz \mathbf{B} é a matriz inversa de \mathbf{A}.
e pede para verificar se \mathbf{B} é a matriz inversa de \mathbf{A}.
Informações relevantes: as entradas de \mathbf{A} e \mathbf{B} estão todas dadas e ambas são quadradas 2\times2. O que precisamos checar é se ao multiplicar \mathbf{A} por \mathbf{B} (e, idealmente, \mathbf{B} por \mathbf{A}) obtemos a matriz identidade 2\times2:
Definição e ideia prática (aula rapidinha): dizer que \mathbf{B} é inversa de \mathbf{A} significa que ao multiplicarmos \mathbf{A} por \mathbf{B} obtemos a identidade e também \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}_2. Para matrizes quadradas, ter uma inversa significa que existe uma matriz \mathbf{A}^{-1} tal que
Interpretação do resultado do passo anterior: obtivemos \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I}_2. Para matrizes quadradas, isso já indica fortemente que \mathbf{B} é a inversa direita de \mathbf{A}. Para ficar completamente seguro (e porque é simples calcular), vou também verificar o produto na ordem inversa \mathbf{B}\mathbf{A}.
Passo 5
Calcular \mathbf{B}\mathbf{A}. Novamente, entrada a entrada:
Conclusão final a partir dos passos anteriores: calculamos \mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{I}_2 e \mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{I}_2, e pela fórmula da inversa de 2\times2 também obtivemos \mathbf{A}^{-1}=\mathbf{B}. Portanto \mathbf{B} é de fato a matriz inversa de \mathbf{A}.