[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
(a) O que são as componentes de um vetor no espaço?

Passo 1

O enunciado diz que as coordenadas de um ponto P no espaço são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{OP} (do ponto O, origem, até P). Ele dá como exemplo o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0). A pergunta (a) é: o que são as componentes de um vetor no espaço? Listei as informações relevantes:
  • Temos um sistema de coordenadas em 3D com origem O.
  • Um ponto P tem coordenadas (x,y,z).
  • O vetor \overrightarrow{OP} tem componentes que, segundo o enunciado, coincidem com as coordenadas de P.
    A partir disso, precisamos explicar claramente e didaticamente o que significa “componentes de um vetor no espaço”.

Passo 2

Começando pelo básico: o que é um vetor no espaço? Vou explicar de um jeito leve.
  • Um vetor é um objeto que tem direção, sentido e magnitude (comprimento). Geometricamente, pense num deslocamento: ir da origem O até o ponto P.
  • Para descrever completamente esse vetor numericamente precisamos de três números (porque o espaço é tridimensional): esses três números são as componentes.
    Não usei ainda fórmulas; só uma imagem mental: vetor = “seta” no espaço; componentes = “quantas unidades você anda em cada direção dos eixos”.

Passo 3

Agora apresento os vetores unitários (os “eixos”), que nos ajudam a expressar qualquer vetor:
\mathbf{i}=(1,0,0),\qquad \mathbf{j}=(0,1,0),\qquad \mathbf{k}=(0,0,1).
Explicação do que são:
  • \mathbf{i} é um vetor de comprimento 1 apontando na direção do eixo x.
  • \mathbf{j} aponta na direção do eixo y.
  • \mathbf{k} aponta na direção do eixo z.
    Qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação desses três vetores unitários.

Passo 4

Escrevendo um vetor em termos das componentes: seja um vetor \vec{v} cujas componentes são (v_{1},v_{2},v_{3}). Podemos escrever
\vec{v} = v_{1}\mathbf{i} + v_{2}\mathbf{j} + v_{3}\mathbf{k}.
O que isso significa, passo a passo:
  • v_{1} é um número real que multiplica \mathbf{i}; geometria: quanto o vetor “anda” na direção x.
  • v_{2} é quanto anda na direção y.
  • v_{3} é quanto anda na direção z.
    Cada v_{i} chama-se componente do vetor na respectiva direção.

Passo 5

Interpretação via coordenadas de um ponto: se P tem coordenadas (x,y,z), então o vetor \overrightarrow{OP} tem componentes exatamente (x,y,z). Ou seja,
\overrightarrow{OP}=(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}.
Exemplo concreto e simples (faça tu mesmo na prova): se P=(2,-1,3) então
\overrightarrow{OP}=(2,-1,3)=2\mathbf{i}-1\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
Aqui 2 é a componente ao longo do eixo x, -1 ao longo do eixo y (sinal negativo indica sentido oposto) e 3 ao longo do eixo z.

Passo 6

Como usar as componentes em operações — isso é muito prático na prova:
  • Soma de vetores: (a_{1},a_{2},a_{3})+(b_{1},b_{2},b_{3})=(a_{1}+b_{1},\,a_{2}+b_{2},\,a_{3}+b_{3}).
    Ex.: (1,2,3)+(4,-1,0)=(5,1,3).
  • Multiplicação por escalar \lambda: \lambda(a_{1},a_{2},a_{3})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\lambda a_{3}).
    Ex.: 2(1,0,-1)=(2,0,-2).
    Essas fórmulas vêm diretamente da escrita v_{1}\mathbf{i}+v_{2}\mathbf{j}+v_{3}\mathbf{k} porque escala e soma atuam em cada coordenada separadamente.

Passo 7

Observações úteis para a prova (dicas que me ajudaram quando eu comecei):
  • O vetor nulo tem componentes (0,0,0) porque não há deslocamento em nenhuma direção.
  • As componentes são “assinadas”: o sinal indica sentido ao longo do eixo.
  • Cuidado: as componentes dependem do sistema de eixos escolhido. Aqui assumimos os eixos cartesianos padrão; se mudarmos os eixos (ou a base), as componentes mudam. Na prova, quando não disserem nada, assumimos os eixos cartesianos usuais.
  • Se te pedirem a componente de um vetor numa direção específica (por ex. componente na direção de x), isto é apenas o primeiro número da tripla.

Passo 8

Resumo prático e a frase curta que você pode colar na resposta da prova: as componentes de um vetor no espaço são os três números reais que multiplicam os vetores unitários dos eixos cartesianos e que correspondem às projeções assinadas do vetor nas direções x, y e z; para \overrightarrow{OP} com P=(x,y,z) as componentes são (x,y,z).

Resposta

As componentes de um vetor no espaço são os três números reais que multiplicam os vetores unitários dos eixos cartesianos, ou seja, se \overrightarrow{OP} tem P=(x,y,z) então suas componentes são (x,y,z).

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