[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
(a) Descreva um sistema de coordenadas retangulares (sistema de coordenadas ortogonais) no espaço.

Passo 1

O enunciado pede que você descreva um sistema de coordenadas retangulares (também chamado de sistema de coordenadas ortogonais) no espaço.
Informações dadas no enunciado que vamos usar:
  • As coordenadas de um ponto P no espaço são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{OP} que vai da origem O até P.
  • O vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
O que precisamos dar: uma descrição clara e completa do que é esse sistema, como se escolhem os eixos e unidades, como se obtêm as coordenadas de um ponto e como interpretar vetores nesse sistema.

Passo 2

Começando pelo básico: o que é um sistema de coordenadas retangulares no espaço?
  • Escolhemos um ponto fixo que chamamos de origem e escrevemos O.
  • A partir de O traçamos três retas que passam por O e são mutuamente perpendiculares (cada par forma um ângulo reto). Essas três retas são os eixos do sistema. Costumamos chamá‑los de eixo x, eixo y e eixo z.
  • Em cada eixo escolhemos uma unidade de comprimento (a mesma unidade nos três eixos ou não, dependendo da convenção; na prática escolhemos a mesma). Também orientamos cada eixo definindo o sentido positivo (para cima/direita/frente etc.).
  • Essas três direções perpendiculares formam uma base ortogonal do espaço: isto significa que as direções estão a 90° entre si.

Passo 3

Unidades e vetores unitários — como transformamos as direções em “ferramentas” para representar pontos:
  • Em cada eixo definimos um vetor unitário, que é um vetor de comprimento 1 apontando para o sentido positivo do eixo. Denotamos frequentemente esses vetores por \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 ou por \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. Assim, \mathbf{e}_1 aponta na direção positiva do eixo x, \mathbf{e}_2 no y e \mathbf{e}_3 no z.
  • Esses vetores são mutuamente ortogonais: \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=0 quando i\neq j, e \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_i=1.

Passo 4

Como as coordenadas de um ponto P aparecem no sistema: projeção e componentes
  • Para um ponto P no espaço, suas coordenadas (x,y,z) são os números que indicam “quanto” devemos andar em cada direção \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 a partir da origem O para chegar em P.
  • Geometricamente, se você projetar P ortogonalmente sobre cada eixo, obterá as distâncias algébricas (com sinal) x, y e z. Essas três projeções determinam P unicamente.
  • Em linguagem de vetores isso significa:
\overrightarrow{OP}=x\,\mathbf{e}_1+y\,\mathbf{e}_2+z\,\mathbf{e}_3.
Portanto as coordenadas de P são exatamente as componentes do vetor \overrightarrow{OP}.

Passo 5

Escrevendo pontos e vetores como triplas e operando com elas (forma prática para a prova)
  • Representamos o ponto P pela tripla (x,y,z). A mesma tripla representa o vetor \overrightarrow{OP}.
  • Soma de vetores: se \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3).
  • Multiplicação por escalar c\in\mathbb{R}:
c\mathbf{u}=(c\,u_1,\;c\,u_2,\;c\,u_3).
Essas operações correspondem a somar/deslocar coordenadas componente a componente — é muito útil na prova porque converte geometria em contas simples.

Passo 6

Distância entre pontos e norma de vetores (como usar o sistema para medir comprimentos)
  • Se P=(x_1,y_1,z_1) e Q=(x_2,y_2,z_2), o vetor diferença é
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=(x_2-x_1,\;y_2-y_1,\;z_2-z_1).
  • Usando o Teorema de Pitágoras em 3D, a distância de P a Q é
\operatorname{dist}(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.
  • A norma (comprimento) de um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.

Passo 7

Produto escalar e ortogonalidade (por que “ortogonal” no nome)
  • O produto escalar entre \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Esse produto permite testar perpendicularidade: \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais se, e só se, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0. Como no nosso sistema os vetores de base são mutuamente ortogonais, chamamos o sistema de ortogonal.
  • Também relaciona-se com o cosseno do ângulo entre vetores:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 8

Unicidade e convenções práticas para a prova (dicas rápidas)
  • Numa base ortonormal (ou seja, \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 são unitários e mutuamente ortogonais) a representação de qualquer vetor como v_1\mathbf{e}_1+v_2\mathbf{e}_2+v_3\mathbf{e}_3 é única — isso garante que as coordenadas (v_1,v_2,v_3) sejam bem definidas.
  • Em provas: desenhe rapidamente os eixos, marque a origem, projete perpendicularmente o ponto sobre os eixos para ler x,y,z. Use sempre componente a componente para somas, subtrações e escalares — evita erros e economiza tempo.
  • Convenção de mão direita (opcional, mas comum): escolhe‑se a orientação dos eixos de modo que \mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2=\mathbf{e}_3. Isso fixa o sentido positivo do z dado x e y.

Resposta

Um sistema de coordenadas retangulares no espaço é determinado por uma origem O e três eixos mutuamente perpendiculares (eixo x, eixo y e eixo z) com unidades e sentidos definidos; cada ponto P é representado pela tripla (x,y,z), onde x,y,z são as componentes (projeções algébricas) do vetor posição \overrightarrow{OP}=x\,\mathbf{e}_1+y\,\mathbf{e}_2+z\,\mathbf{e}_3 em relação aos vetores unitários ortogonais \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3; operações geométricas (soma, escala, distância, produto escalar) reduzem‑se a operações componente a componente, por exemplo \operatorname{dist}(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.

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