[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
(a) Descreva um sistema de coordenadas retangulares (sistema de coordenadas ortogonais) no espaço.
Passo 1
O enunciado pede que você descreva um sistema de coordenadas retangulares (também chamado de sistema de coordenadas ortogonais) no espaço.
Informações dadas no enunciado que vamos usar:
As coordenadas de um ponto P no espaço são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{OP} que vai da origem O até P.
O vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
O que precisamos dar: uma descrição clara e completa do que é esse sistema, como se escolhem os eixos e unidades, como se obtêm as coordenadas de um ponto e como interpretar vetores nesse sistema.
Passo 2
Começando pelo básico: o que é um sistema de coordenadas retangulares no espaço?
Escolhemos um ponto fixo que chamamos de origem e escrevemos O.
A partir de O traçamos três retas que passam por O e são mutuamente perpendiculares (cada par forma um ângulo reto). Essas três retas são os eixos do sistema. Costumamos chamá‑los de eixo x, eixo y e eixo z.
Em cada eixo escolhemos uma unidade de comprimento (a mesma unidade nos três eixos ou não, dependendo da convenção; na prática escolhemos a mesma). Também orientamos cada eixo definindo o sentido positivo (para cima/direita/frente etc.).
Essas três direções perpendiculares formam uma base ortogonal do espaço: isto significa que as direções estão a 90° entre si.
Passo 3
Unidades e vetores unitários — como transformamos as direções em “ferramentas” para representar pontos:
Em cada eixo definimos um vetor unitário, que é um vetor de comprimento 1 apontando para o sentido positivo do eixo. Denotamos frequentemente esses vetores por \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 ou por \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}. Assim, \mathbf{e}_1 aponta na direção positiva do eixo x, \mathbf{e}_2 no y e \mathbf{e}_3 no z.
Esses vetores são mutuamente ortogonais: \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j=0 quando i\neq j, e \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_i=1.
Passo 4
Como as coordenadas de um ponto P aparecem no sistema: projeção e componentes
Para um ponto P no espaço, suas coordenadas (x,y,z) são os números que indicam “quanto” devemos andar em cada direção \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 a partir da origem O para chegar em P.
Geometricamente, se você projetar P ortogonalmente sobre cada eixo, obterá as distâncias algébricas (com sinal) x, y e z. Essas três projeções determinam P unicamente.
A norma (comprimento) de um vetor \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}.
Passo 7
Produto escalar e ortogonalidade (por que “ortogonal” no nome)
O produto escalar entre \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Esse produto permite testar perpendicularidade: \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais se, e só se, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0. Como no nosso sistema os vetores de base são mutuamente ortogonais, chamamos o sistema de ortogonal.
Também relaciona-se com o cosseno do ângulo entre vetores:
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Passo 8
Unicidade e convenções práticas para a prova (dicas rápidas)
Numa base ortonormal (ou seja, \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 são unitários e mutuamente ortogonais) a representação de qualquer vetor como v_1\mathbf{e}_1+v_2\mathbf{e}_2+v_3\mathbf{e}_3 é única — isso garante que as coordenadas (v_1,v_2,v_3) sejam bem definidas.
Em provas: desenhe rapidamente os eixos, marque a origem, projete perpendicularmente o ponto sobre os eixos para ler x,y,z. Use sempre componente a componente para somas, subtrações e escalares — evita erros e economiza tempo.
Convenção de mão direita (opcional, mas comum): escolhe‑se a orientação dos eixos de modo que \mathbf{e}_1\times\mathbf{e}_2=\mathbf{e}_3. Isso fixa o sentido positivo do z dado x e y.
Resposta
Um sistema de coordenadas retangulares no espaço é determinado por uma origem O e três eixos mutuamente perpendiculares (eixo x, eixo y e eixo z) com unidades e sentidos definidos; cada ponto P é representado pela tripla (x,y,z), onde x,y,z são as componentes (projeções algébricas) do vetor posição \overrightarrow{OP}=x\,\mathbf{e}_1+y\,\mathbf{e}_2+z\,\mathbf{e}_3 em relação aos vetores unitários ortogonais \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3; operações geométricas (soma, escala, distância, produto escalar) reduzem‑se a operações componente a componente, por exemplo \operatorname{dist}(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}.