[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
(a) O que são as componentes de um vetor no plano?
Observe que as coordenadas de um ponto P, no plano, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0).
(b) Soma de vetores por meio de suas componentes: como se pode fazer a soma de dois vetores quaisquer \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right) e \vec{w}=\left(w_{1}, w_{2}\right), em outras palavras, quanto vale \vec{v}+\vec{w} ?
(c) Dados os vetores \vec{v}=(3,-2) e \vec{w}=(-1,4) e \alpha=2, calcule:
(i) \vec{v}+\vec{w}
(ii) \alpha \vec{v}
(iii) \alpha \vec{w}-\vec{v}
(c) Multiplicação de escalar por vetor, usando componentes: como se pode fazer o produto de \alpha \in \mathbb{R} pelo vetor \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right), ou seja, quanto vale \alpha \vec{v} ??

Passo 1

O enunciado faz quatro perguntas relacionadas a vetores no plano. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
(a) O que são as componentes de um vetor no plano?
(b) Como se soma dois vetores quaisquer \vec{v}=\left(v_{1},v_{2}\right) e \vec{w}=\left(w_{1},w_{2}\right); ou seja, quanto vale \vec{v}+\vec{w}?
(c) São dados \vec{v}=(3,-2), \vec{w}=(-1,4) e \alpha=2. Calcule:
(i) \vec{v}+\vec{w}
(ii) \alpha\vec{v}
(iii) \alpha\vec{w}-\vec{v}
(c) (última pergunta do enunciado) Como se faz a multiplicação de um escalar \alpha\in\mathbb{R} pelo vetor \vec{v}=\left(v_{1},v_{2}\right); ou seja, quanto vale \alpha\vec{v}?
Não vou resolver nada aqui ainda — apenas organizei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Explicando bem devagar e com calma: o que são as componentes de um vetor no plano.
  • Imagine um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto O=(0,0). Um ponto qualquer P tem coordenadas (x,y).
  • O vetor posição de P, que chamamos de \overrightarrow{OP}, é o vetor que vai da origem O até P. As componentes desse vetor são exatamente as coordenadas do ponto P. Ou seja, se P=(x,y) então
\overrightarrow{OP}=(x,y).
  • Em linguagem simples: as componentes de um vetor no plano são os dois números que dizem “quanto ele anda” na direção x (horizontal) e “quanto ele anda” na direção y (vertical). Esses números são chamados de primeira componente v_1 (a componente horizontal) e segunda componente v_2 (a componente vertical).
  • Exemplo concreto: o vetor que vai da origem ao ponto P=(3,1) tem componente horizontal 3 e componente vertical 1; escrevemos \overrightarrow{OP}=(3,1).
  • Observação prática: o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0) porque ele não anda nem em x nem em y.

Passo 3

Como a soma de vetores funciona geometricamente (intuição breve) e por que fazemos isso componente a componente.
  • Geometricamente, somar \vec{v} e \vec{w} equivale a colocar a cauda de \vec{w} na cabeça de \vec{v} (ou vice‑versa) e traçar o vetor que vai da cauda do primeiro até a cabeça do segundo — isso é a regra do paralelogramo/triângulo.
  • Algebricamente, se \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2), cada direção (horizontal e vertical) se soma separadamente: a soma na direção x é v_1+w_1 e na direção y é v_2+w_2. Logo obtemos a fórmula
\vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1,\;v_2+w_2).
  • Por que isso é tão prático na prova: em vez de desenhar, você soma dois números para cada componente — rápido e sem erro.

Passo 4

Regra da multiplicação de um escalar por um vetor (intuição e fórmula).
  • Multiplicar um vetor por um número real \alpha muda o comprimento do vetor e possivelmente seu sentido: se \alpha>0 mantém o sentido, se \alpha<0 inverte o sentido, e o módulo fica multiplicado por |\alpha|.
  • Em componentes, essa operação é feita multiplicando cada componente pelo escalar. Se \vec{v}=(v_1,v_2) e \alpha\in\mathbb{R}, então
\alpha\vec{v}=(\alpha v_1,\;\alpha v_2).
  • Exemplo rápido: se \vec{v}=(3,-2) e \alpha=2, então \alpha\vec{v}=(6,-4) — a componente horizontal dobrou e a vertical também dobrou (com sinal).

Passo 5

Agora aplico as fórmulas ao exercício com passos explícitos e contas explicadas.
Dados: \vec{v}=(3,-2), \vec{w}=(-1,4), \alpha=2.
(i) Calcular \vec{v}+\vec{w}. Usando a regra da soma componente a componente:
\vec{v}+\vec{w}=(3+(-1),\;-2+4).
Fazendo as somas numéricas: 3+(-1)=2 e -2+4=2. Logo
\vec{v}+\vec{w}=(2,2).
(ii) Calcular \alpha\vec{v}. Usando a regra de multiplicação escalar:
\alpha\vec{v}=2\cdot(3,-2)=(2\cdot 3,\;2\cdot (-2)).
Fazendo as multiplicações: 2\cdot 3=6 e 2\cdot(-2)=-4. Logo
\alpha\vec{v}=(6,-4).
(iii) Calcular \alpha\vec{w}-\vec{v}. Primeiro calcule \alpha\vec{w} e depois faça a subtração componente a componente (subtração é a soma com o oposto, mas operacionalmente é só tirar as componentes):
\alpha\vec{w}=2\cdot(-1,4)=(2\cdot(-1),\;2\cdot 4)=(-2,8).
Agora subtrair \vec{v}=(3,-2):
\alpha\vec{w}-\vec{v}=(-2,8)-(3,-2)=(-2-3,\;8-(-2)).
Calcule: -2-3=-5 e 8-(-2)=8+2=10. Assim
\alpha\vec{w}-\vec{v}=(-5,10).

Passo 6

Dicas finais para a prova (curtas e úteis):
  • Sempre escreva as componentes entre parênteses e faça as operações componente a componente: somar horizontais, somar verticais.
  • Para escalar, multiplique cada componente pelo escalar.
  • Se aparecer subtração, faça (a_1,a_2)-(b_1,b_2)=(a_1-b_1,a_2-b_2).
  • Treine uns 3 exemplos rápidos no papel antes da prova para ganhar confiança — você consegue!

Resposta

(a) As componentes de um vetor no plano são os dois números que indicam quanto o vetor “anda” nas direções horizontal e vertical; se P=(x,y) então \overrightarrow{OP}=(x,y) e o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0).
(b) \vec{v}+\vec{w}=(v_1+w_1,\;v_2+w_2).
(c)(i) \vec{v}+\vec{w}=(2,2)
(c)(ii) \alpha\vec{v}=(6,-4)
(c)(iii) \alpha\vec{w}-\vec{v}=(-5,10)
(c) (multiplicação escalar) \alpha\vec{v}=(\alpha v_1,\;\alpha v_2)

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