[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
(b) Defina plano coordenado.

Passo 1

O enunciado pede que você defina o que é um “plano coordenado”. As informações fornecidas que podemos usar são: as coordenadas de um ponto P no espaço são as componentes do vetor \overrightarrow{OP} (do ponto O — a origem — até P), e o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0). A tarefa agora é escrever uma definição clara do conceito “plano coordenado”.

Passo 2

Vamos lembrar rapidamente como representam-se pontos e eixos no espaço: um ponto qualquer tem coordenadas (x,y,z), que equivalem ao vetor \overrightarrow{OP}=(x,y,z). Os três eixos coordenados são:
\text{eixo }x=\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\},
\text{eixo }y=\{(0,y,0)\mid y\in\mathbb{R}\},
\text{eixo }z=\{(0,0,z)\mid z\in\mathbb{R}\}.
Isso só para fixar a ideia: cada eixo é a reta formada por pontos com duas coordenadas nulas.

Passo 3

Agora, o que é um plano coordenado, de forma natural? É um plano do espaço que contém dois dos eixos coordenados. Em \mathbb{R}^3 existem exatamente três planos assim, cada um obtido ao deixar uma das coordenadas sempre igual a zero. Escrevemos esses planos explicitamente assim:
\text{plano }xy=\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\quad\text{(equação: }z=0\text{)},çã
\text{plano }yz=\{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\}\quad\text{(equação: }x=0\text{)},çã
\text{plano }xz=\{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}\quad\text{(equação: }y=0\text{)}.çã
Aqui cada conjunto é descrito por pontos cujas coordenadas satisfazem a equação indicada.

Passo 4

Dê uma olhada na forma vetorial/paramétrica — isso ajuda muito na prova: usando os vetores unitários \mathbf{e}_1=(1,0,0), \mathbf{e}_2=(0,1,0), \mathbf{e}_3=(0,0,1), por exemplo o plano xy tem a forma
(x,y,0)=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2,
com x,y\in\mathbb{R}. Isso mostra que o plano é gerado linearmente pelos vetores \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2; ou seja, é o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores.

Passo 5

Propriedades geométricas úteis (para você reconhecer rápido na prova):
  • Cada plano coordenado passa pela origem (0,0,0).
  • Cada plano coordenado contém exatamente dois eixos coordenados (por exemplo, o plano xy contém os eixos x e y).
  • O vetor normal ao plano xy é \mathbf{n}=(0,0,1); de forma geral, o normal é o vetor unitário da coordenada que foi fixada em zero. Isso significa que um vetor v está no plano xy se e somente se \mathbf{n}\cdot v=0.

Passo 6

Exemplos rápidos para treinar o reconhecimento:
  • O ponto (2,-1,0) pertence ao plano xy porque sua terceira coordenada é 0.
  • O ponto (1,0,3) não pertence ao plano xy porque sua terceira coordenada é 3\neq0.
    Dica de prova: se ver uma equação do tipo x=0, y=0 ou z=0, já saiba que é um plano coordenado.

Resposta

Plano coordenado é um dos planos do espaço que contém dois eixos coordenados; em \mathbb{R}^3 são, por exemplo,
\{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}\\ (z=0),\qquad \{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\}\\ (x=0),\qquad \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}\\ (y=0).

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