[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
Multiplicação de escalar por vetor, usando componentes: como se pode fazer o produto de \alpha \in \mathbb{R} pelo vetor \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) ?
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre como multiplicar um escalar \alpha\in\mathbb{R} por um vetor \vec{v} cujas componentes são \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right). Informações dadas e o que é importante lembrar:
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As coordenadas do ponto P no espaço são as componentes do vetor \overrightarrow{OP}.
O vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
O vetor que vamos multiplicar é \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right).
O escalar é \alpha\in\mathbb{R}.
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A pergunta concreta: como calcular \alpha\vec{v} usando as componentes de \vec{v}?
Passo 2
Definição prática (a resposta direta, que vamos justificar): multiplicar o escalar \alpha pelo vetor \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) significa multiplicar cada componente de \vec{v} por \alpha. Ou seja,
Agora eu vou te mostrar por que isso faz sentido e como usar isso passo a passo na prova.
Passo 3
Raciocínio usando bases canônicas (para entender por que a definição acima é natural): qualquer vetor no \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear das bases \vec{e}_1=(1,0,0), \vec{e}_2=(0,1,0), \vec{e}_3=(0,0,1). Ou seja,
Interpretação geométrica — o que isso significa no espaço:
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O fator |\alpha| escala o comprimento (norma) do vetor. Se |\alpha|>1, o vetor fica maior; se 0<|\alpha|<1, ele encolhe.
O sinal de \alpha determina a direção: se \alpha>0, a direção do vetor não muda; se \alpha<0, o vetor inverte de sentido (aponta para o lado oposto).
Se \alpha=0, o resultado é o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0).
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Essas conclusões também aparecem diretamente nas componentes: multiplicar cada componente por um número positivo preserva seus sinais; por um número negativo troca os sinais; por zero zera todas as componentes.
Passo 5
Exemplo numérico passo a passo (pra você ver como faz na prova sem mistério): seja \alpha=2 e \vec{v}=(1,-3,0{,}5). Multiplica-se componente a componente:
Dicas práticas para a prova (pra você não se enrolar):
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Sempre escreva a componente geral antes: se \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então diretamente \alpha\vec{v}=(\alpha v_1,\alpha v_2,\alpha v_3).
Se aparecer em questão com notação de colunas, faça a multiplicação nas entradas: \alpha\begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha v_1\\alpha v_2\\alpha v_3\end{pmatrix}.
Se precisar interpretar geometricamente, calcule a norma antes e depois para ver o fator de escala, e observe sinais para decidir se a direção inverteu.
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Você está mandando bem; é só praticar alguns exemplos assim que isso vira automático.
Passo 9
Resumo final do procedimento passo a passo (como fazer numa folha de prova):
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Identifique \alpha e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3).
Multiplique cada componente por \alpha: calcule \alpha v_1,\;\alpha v_2,\;\alpha v_3.
Escreva o vetor resultante \left(\alpha v_1,\alpha v_2,\alpha v_3\right).
Se for preciso, calcule norma ou verifique direção com base no sinal de \alpha.