[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
Multiplicação de escalar por vetor, usando componentes: como se pode fazer o produto de \alpha \in \mathbb{R} pelo vetor \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre como multiplicar um escalar \alpha\in\mathbb{R} por um vetor \vec{v} cujas componentes são \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right). Informações dadas e o que é importante lembrar:
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  • As coordenadas do ponto P no espaço são as componentes do vetor \overrightarrow{OP}.
  • O vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
  • O vetor que vamos multiplicar é \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right).
  • O escalar é \alpha\in\mathbb{R}.
    \n
    A pergunta concreta: como calcular \alpha\vec{v} usando as componentes de \vec{v}?

Passo 2

Definição prática (a resposta direta, que vamos justificar): multiplicar o escalar \alpha pelo vetor \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) significa multiplicar cada componente de \vec{v} por \alpha. Ou seja,
\alpha\vec{v} = \left(\alpha v_{1},\,\alpha v_{2},\,\alpha v_{3}\right).
Agora eu vou te mostrar por que isso faz sentido e como usar isso passo a passo na prova.

Passo 3

Raciocínio usando bases canônicas (para entender por que a definição acima é natural): qualquer vetor no \mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear das bases \vec{e}_1=(1,0,0), \vec{e}_2=(0,1,0), \vec{e}_3=(0,0,1). Ou seja,
\vec{v} = v_{1}\vec{e}_1 + v_{2}\vec{e}_2 + v_{3}\vec{e}_3.
Se multiplicamos por \alpha, pela propriedade distributiva da multiplicação escalar sobre soma de vetores, temos
\alpha\vec{v} = \alpha\big(v_{1}\vec{e}_1 + v_{2}\vec{e}_2 + v_{3}\vec{e}_3\big) = \alpha v_{1}\vec{e}_1 + \alpha v_{2}\vec{e}_2 + \alpha v_{3}\vec{e}_3.
Como \alpha v_{i}\vec{e}_i tem componentes (0,\dots,\alpha v_i,\dots,0), somando dá exatamente
\alpha\vec{v} = \left(\alpha v_{1},\,\alpha v_{2},\,\alpha v_{3}\right),
o que confirma a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Interpretação geométrica — o que isso significa no espaço:
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  • O fator |\alpha| escala o comprimento (norma) do vetor. Se |\alpha|>1, o vetor fica maior; se 0<|\alpha|<1, ele encolhe.
  • O sinal de \alpha determina a direção: se \alpha>0, a direção do vetor não muda; se \alpha<0, o vetor inverte de sentido (aponta para o lado oposto).
  • Se \alpha=0, o resultado é o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0).
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    Essas conclusões também aparecem diretamente nas componentes: multiplicar cada componente por um número positivo preserva seus sinais; por um número negativo troca os sinais; por zero zera todas as componentes.

Passo 5

Exemplo numérico passo a passo (pra você ver como faz na prova sem mistério): seja \alpha=2 e \vec{v}=(1,-3,0{,}5). Multiplica-se componente a componente:
2\vec{v} = \left(2\cdot 1,\;2\cdot(-3),\;2\cdot 0{,}5\right)=\left(2,-6,1\right).
Pronto — é só isso na prática: multiplica cada coordenada por \alpha.

Passo 6

Propriedades úteis que valem para resolver outros exercícios (e que você pode citar se pedirem propriedades):
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  • Distributividade sobre soma de vetores:
\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}.
Prova componente a componente: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então \vec{u}+\vec{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3) e
\alpha(\vec{u}+\vec{v})=(\alpha(u_1+v_1),\alpha(u_2+v_2),\alpha(u_3+v_3))=(\alpha u_1+\alpha v_1,\ldots).
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  • Associatividade entre escalares:
(\alpha\beta)\vec{v}=\alpha(\beta\vec{v}).
Prova componente a componente: (\alpha\beta)v_i=\alpha(\beta v_i).
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  • Elemento neutro e zero:
1\cdot\vec{v}=\vec{v},\qquad 0\cdot\vec{v}=\overrightarrow{0}.

Passo 7

Relação com a norma (útil para interpretar comprimentos): se \|\vec{v}\| é a norma euclidiana de \vec{v}, então
\|\alpha\vec{v}\| = |\alpha|\,\|\vec{v}\|.
Prova rápida componente a componente:
\|\alpha\vec{v}\| = \sqrt{(\alpha v_1)^2+(\alpha v_2)^2+(\alpha v_3)^2} = \sqrt{\alpha^2\big(v_1^2+v_2^2+v_3^2\big)} = |\alpha|\,\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2} = |\alpha|\,\|\vec{v}\|.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (pra você não se enrolar):
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  • Sempre escreva a componente geral antes: se \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então diretamente \alpha\vec{v}=(\alpha v_1,\alpha v_2,\alpha v_3).
  • Se aparecer em questão com notação de colunas, faça a multiplicação nas entradas: \alpha\begin{pmatrix}v_1\v_2\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha v_1\\alpha v_2\\alpha v_3\end{pmatrix}.
  • Se precisar interpretar geometricamente, calcule a norma antes e depois para ver o fator de escala, e observe sinais para decidir se a direção inverteu.
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    Você está mandando bem; é só praticar alguns exemplos assim que isso vira automático.

Passo 9

Resumo final do procedimento passo a passo (como fazer numa folha de prova):
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  1. Identifique \alpha e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3).
  2. Multiplique cada componente por \alpha: calcule \alpha v_1,\;\alpha v_2,\;\alpha v_3.
  3. Escreva o vetor resultante \left(\alpha v_1,\alpha v_2,\alpha v_3\right).
  4. Se for preciso, calcule norma ou verifique direção com base no sinal de \alpha.

Resposta

\alpha\vec{v}=\left(\alpha v_{1},\,\alpha v_{2},\,\alpha v_{3}\right)

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