[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
(b) Soma de vetores por meio de suas componentes: como se pode fazer a soma de dois vetores quaisquer no espaço: \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) e \vec{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) ?

Passo 1

O enunciado dá a informação de que as coordenadas de um ponto P no espaço são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{OP} que vai da origem O até P. Em particular o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
A pergunta que devemos responder é: como fazer a soma de dois vetores quaisquer no espaço dados por \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) e \vec{w}=\left(w_{1},w_{2},w_{3}\right)?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significam as notações.
Quando escrevemos \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right), cada número \,v_{1},v_{2},v_{3}\, é a componente de \vec{v} ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. Analogamente, \vec{w}=\left(w_{1},w_{2},w_{3}\right) tem componentes \,w_{1},w_{2},w_{3}\,. Essas componentes dizem “quanto” o vetor anda em cada direção axial. Pense nelas como as coordenadas de um ponto obtido levando o vetor até a origem.

Passo 3

Uma forma muito prática e padrão de representar vetores é em termos dos vetores de base \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} (vetores unitários nas direções x,y,z). Escrevemos:
\vec{v}=v_{1}\hat{\imath}+v_{2}\hat{\jmath}+v_{3}\hat{k}
\vec{w}=w_{1}\hat{\imath}+w_{2}\hat{\jmath}+w_{3}\hat{k}
Aqui \hat{\imath} significa “um passo na direção x”, \hat{\jmath} um passo na direção y e \hat{k} um passo na direção z.

Passo 4

Para somar \vec{v} e \vec{w} somamos termo a termo as suas expressões em base:
\vec{v}+\vec{w}=(v_{1}\hat{\imath}+v_{2}\hat{\jmath}+v_{3}\hat{k})+(w_{1}\hat{\imath}+w_{2}\hat{\jmath}+w_{3}\hat{k})
Agrupando os mesmos vetores de base (porque \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} são independentes) obtemos:
\vec{v}+\vec{w}=(v_{1}+w_{1})\hat{\imath}+(v_{2}+w_{2})\hat{\jmath}+(v_{3}+w_{3})\hat{k}
Voltando à notação de componentes, isso é exatamente:
\vec{v}+\vec{w}=\left(v_{1}+w_{1},\,v_{2}+w_{2},\,v_{3}+w_{3}\right)

Passo 5

Intuição geométrica rápida (para lembrar na prova): somar vetores é como encaixar “cauda na ponta” (tip-to-tail) ou traçar o paralelogramo. O resultado tem cada componente igual à soma das componentes correspondentes — porque em cada eixo x,y,z os deslocamentos se somam independentemente.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (pra você praticar e ganhar confiança):
Se \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(4,-1,0), então:
  • soma da componente x: 1+4=5,
  • soma da componente y: 2+(-1)=1,
  • soma da componente z: 3+0=3.
    Logo \vec{v}+\vec{w}=(5,1,3). Faça isso devagar na prova: primeiro some as primeiras componentes, depois as segundas, depois as terceiras.

Passo 7

Propriedades úteis que decoram a regra e ajudam em cálculo:
\vec{v}+\vec{w}=\vec{w}+\vec{v}\quad(\text{comutatividade})
(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})\quad(\text{associatividade})
O elemento neutro é \vec{0}=(0,0,0) pois \vec{v}+\vec{0}=\vec{v}. O inverso de \vec{v} é -\vec{v}=(-v_{1},-v_{2},-v_{3}).

Passo 8

Dica final para a prova (respira fundo, faz tranquilo): sempre faça a soma componente a componente; se esquecer a teoria, desenhe rápido os vetores ou escreva a decomposição em \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} e some os coeficientes. Isso evita erro por confusão geométrica.

Resposta

\vec{v}+\vec{w}=\left(v_{1}+w_{1},\,v_{2}+w_{2},\,v_{3}+w_{3}\right)

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