[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
(b) Soma de vetores por meio de suas componentes: como se pode fazer a soma de dois vetores quaisquer no espaço: \vec{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) e \vec{w}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) ?
Passo 1
O enunciado dá a informação de que as coordenadas de um ponto P no espaço são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{OP} que vai da origem O até P. Em particular o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
A pergunta que devemos responder é: como fazer a soma de dois vetores quaisquer no espaço dados por \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right) e \vec{w}=\left(w_{1},w_{2},w_{3}\right)?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significam as notações.
Quando escrevemos \vec{v}=\left(v_{1},v_{2},v_{3}\right), cada número \,v_{1},v_{2},v_{3}\, é a componente de \vec{v} ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente. Analogamente, \vec{w}=\left(w_{1},w_{2},w_{3}\right) tem componentes \,w_{1},w_{2},w_{3}\,. Essas componentes dizem “quanto” o vetor anda em cada direção axial. Pense nelas como as coordenadas de um ponto obtido levando o vetor até a origem.
Passo 3
Uma forma muito prática e padrão de representar vetores é em termos dos vetores de base \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} (vetores unitários nas direções x,y,z). Escrevemos:
Intuição geométrica rápida (para lembrar na prova): somar vetores é como encaixar “cauda na ponta” (tip-to-tail) ou traçar o paralelogramo. O resultado tem cada componente igual à soma das componentes correspondentes — porque em cada eixo x,y,z os deslocamentos se somam independentemente.
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (pra você praticar e ganhar confiança):
Se \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(4,-1,0), então:
soma da componente x: 1+4=5,
soma da componente y: 2+(-1)=1,
soma da componente z: 3+0=3.
Logo \vec{v}+\vec{w}=(5,1,3). Faça isso devagar na prova: primeiro some as primeiras componentes, depois as segundas, depois as terceiras.
Passo 7
Propriedades úteis que decoram a regra e ajudam em cálculo:
O elemento neutro é \vec{0}=(0,0,0) pois \vec{v}+\vec{0}=\vec{v}. O inverso de \vec{v} é -\vec{v}=(-v_{1},-v_{2},-v_{3}).
Passo 8
Dica final para a prova (respira fundo, faz tranquilo): sempre faça a soma componente a componente; se esquecer a teoria, desenhe rápido os vetores ou escreva a decomposição em \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} e some os coeficientes. Isso evita erro por confusão geométrica.