[exercício para entregar] Responda as seguintes questões: Observe que as coordenadas de um ponto P, no espaço, são iguais às componentes do vetor \overrightarrow{O P}, que vai da origem do sistema de coordenadas (ponto O ) ao ponto P. Em particular, o vetor nulo é \overrightarrow{0}=(0,0,0).
Dados os vetores \vec{v}=(1,2,-3) e \vec{w}=(6,-5,4) e \alpha=2, calcule: \alpha \vec{w}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \alpha \vec{w}. As informações dadas são:
\vec{v}=(1,2,-3),\qquad \vec{w}=(6,-5,4),\qquad \alpha=2.
Então a tarefa específica é: calcular \alpha \vec{w} usando os valores acima.

Passo 2

O que significa multiplicar um vetor por um escalar? Seja um escalar k e um vetor \vec{u}=(u_1,u_2,u_3). A definição componente a componente é:
k\vec{u} = (k u_1,\; k u_2,\; k u_3).
Aqui u_1,u_2,u_3 são as três componentes (coordenadas) do vetor \vec{u}, e k é o número que multiplica o vetor. Intuitivamente, multiplicar por k “esticará” o vetor por um fator |k|; se k>0 a direção não muda, se k<0 a direção inverte.

Passo 3

Agora aplicamos a definição ao nosso caso. Tomamos k=\alpha=2 e \vec{w}=(6,-5,4). Substituindo na fórmula:
\alpha\vec{w}=2\vec{w}=2(6,-5,4).

Passo 4

Multiplicamos cada componente por 2:
2(6,-5,4)=(2\cdot6,\;2\cdot(-5),\;2\cdot4).

Passo 5

Calculemos cada produto:
2\cdot6=12,\qquad 2\cdot(-5)=-10,\qquad 2\cdot4=8.

Passo 6

Portanto o resultado é o vetor cujas componentes são os números obtidos:
\alpha\vec{w}=(12,-10,8).

Resposta

(12,-10,8)

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