[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Se um vetor \vec{w} tem C como o ponto inicial de um de seus representantes e D como o ponto final, como podemos representar esse vetor \vec{w} ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se um vetor \vec{w} tem C como o ponto inicial de um de seus representantes e D como o ponto final, como podemos representar esse vetor \vec{w}?”\n
Informações dadas: temos um vetor chamado \vec{w} e dois pontos no espaço (ou no plano) chamados C (início) e D (fim). Não há outras condições numéricas fornecidas.

Passo 2

Notação direta: quando um vetor parte de um ponto C e termina em D, a notação padrão é usar a flecha sobre os pontos, escrevendo o vetor como \overrightarrow{CD}. Isso indica claramente direção (de C para D), sentido (do início para o fim) e posição relativa dos pontos. Portanto, uma representação imediatamente válida é
\vec{w}=\overrightarrow{CD}.
Explicação rápida do porquê: a seta em \overrightarrow{CD} significa "vá de C até D", que é exatamente o que descreve um vetor com início em C e fim em D.

Passo 3

Representação por coordenadas (caso C e D tenham coordenadas): suponha que C tenha coordenadas \bigl(x_C,y_C\bigr) e D tenha \bigl(x_D,y_D\bigr) (no plano). O vetor formado por esses pontos tem componentes obtidas subtraindo as coordenadas do ponto inicial das do ponto final. Ou seja,
\vec{w}=\bigl(x_D-x_C,\;y_D-y_C\bigr).
A ideia por trás disso: um vetor componente mostra quanto você anda em x e quanto anda em y ao ir de C para D. Subtrai-se as coordenadas de C porque medimos deslocamento relativo ao ponto de partida.

Passo 4

Representação usando vetores de posição: se \vec{OC} e \vec{OD} são os vetores posição de C e D em relação à origem O, então o vetor que vai de C a D é a diferença entre o vetor posição de D e o vetor posição de C. Escrevemos
\vec{w}=\vec{OD}-\vec{OC}.
Explicando devagar: \vec{OD} aponta da origem até D; subtraindo \vec{OC} (origem até C) removemos a parte “comum” à origem e ficamos só com o deslocamento de C para D.

Passo 5

Exemplo numérico para fixar (faz de conta que estamos no plano): tome C=(1,2) e D=(4,5). Então, pelas componentes,
\vec{w}=(x_D-x_C,\;y_D-y_C)=(4-1,\;5-2)=(3,3).
Isso significa que, do ponto C para o ponto D, você se moveu 3 unidades em x e 3 unidades em y. Em notação de flecha, seria \vec{w}=\overrightarrow{CD}, e em vetores de posição seria \vec{w}=\vec{OD}-\vec{OC}.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): se te derem só os pontos C e D, escreva \vec{w}=\overrightarrow{CD}. Se pedirem as componentes ou o cálculo, peça as coordenadas e use \vec{w}=(x_D-x_C,\;y_D-y_C) (ou a versão em 3D com z idem). Se quiser usar vetores posição, lembre que é sempre \vec{w}=\vec{OD}-\vec{OC}.

Resposta

\vec{w}=\overrightarrow{CD}
\vec{w}=\vec{OD}-\vec{OC}
\vec{w}=\bigl(x_D-x_C,\;y_D-y_C\bigr)

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