[exercício para entregar] Responda as seguintes questões:
Observação: em nosso curso, vamos denotar o vetor nulo como: \overrightarrow{0}. O prof. Reginaldo, em seu livro, usa a notação \overline{0}.
Dado um vetor qualquer \vec{v}, defina o vetor simétrico de \vec{v}.
Passo 1
O enunciado pede: “Dado um vetor qualquer \vec{v}, defina o vetor simétrico de \vec{v}.”\n
Informações fornecidas e importantes para a definição:
Temos um vetor arbitrário \vec{v}.
O vetor nulo é denotado por \overrightarrow{0} (o enunciado diz que o professor também usa \overline{0}, mas aqui usaremos \overrightarrow{0}).
Precisa-se dar a definição do vetor simétrico de \vec{v} — isto é, dizer qual vetor é chamado de “simétrico” e como construí-lo/identificá-lo.
Passo 2
Definição inicial (intuitiva e curta): o vetor simétrico de \vec{v} é o vetor que, somado a \vec{v}, dá o vetor nulo \overrightarrow{0}. Em linguagem matemática isso significa: o vetor simétrico é um vetor \vec{w} tal que
\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}.
Esse vetor \vec{w} é também chamado de “inverso aditivo” de \vec{v}. Na prática, usamos a notação -\vec{v} para esse vetor simétrico.
Passo 3
Por que a notação -\vec{v} faz sentido e como obtê-la com escalares:\n
Nas propriedades de espaços vetoriais existe a propriedade de multiplicação por escalar. Em particular, o número -1 é um escalar, então podemos considerar (-1)\vec{v}. Usando as propriedades distributivas:
Então somo -\vec{v} (ou somamos a inversa aditiva de \vec{v}) aos dois lados da primeira igualdade; mas é mais direto subtrair \vec{v} mentalmente: subtraindo as duas igualdades obtemos
logo \vec{u}-\vec{w}=\overrightarrow{0}, o que implica \vec{u}=\vec{w}. Assim o simétrico é único.
Passo 5
Como calcular o simétrico em coordenadas (método prático para prova):\n
Se estamos trabalhando em \mathbb{R}^n e escrevemos
\vec{v}=(v_{1},v_{2},\dots,v_{n}),
então
-\vec{v}=(-v_{1},-v_{2},\dots,-v_{n}).
Ou seja: basta trocar o sinal de cada coordenada. Exemplinho prático: se \vec{v}=(2,-3,5) então
-\vec{v}=(-2,3,-5),
e a soma \vec{v}+(-\vec{v})=(0,0,0)=\overrightarrow{0}.
Passo 6
Interpretação geométrica e caso de vetores posição/segmentos: \n
Geometricamente, -\vec{v} tem a mesma intensidade (módulo) que \vec{v} e aponta exatamente na direção oposta. Se \vec{v} representa \overrightarrow{AB} (o vetor do ponto A ao ponto B), então seu simétrico é \overrightarrow{BA}. Isso é uma forma muito útil de visualizar e resolver questões em provas de geometria analítica ou física.
Passo 7
Propriedades úteis que você pode usar direto na prova (com pequenas demonstrações):\n
-( \vec{u}+\vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}. Demonstração usando distributividade de escalares ou somas: escreva (-(\vec{u}+\vec{v})=(-1)(\vec{u}+\vec{v})=(-1)\vec{u}+(-1)\vec{v}=-\vec{u}-\vec{v}.\n
(-a)\vec{v}=a(-\vec{v})=-(a\vec{v}) para qualquer escalar a. Essas identidades são ótimas para simplificar expressões num exame.)
Passo 8
Dica prática rápida para a prova (sem calculadora): quando pedirem o vetor simétrico, não complique: — se te derem coordenadas, só inverta o sinal de cada componente; — se te derem um segmento \overrightarrow{AB}, responda \overrightarrow{BA}; — se te pedirem simbolicamente, escreva -\vec{v}=(-1)\vec{v}. Respira, faz com calma e lembra das propriedades acima para verificar.
Resposta
O vetor simétrico de \vec{v} é o vetor -\vec{v}, definido como o único vetor que satisfaz \vec{v}+(-\vec{v})=\overrightarrow{0}; equivalentemente -\vec{v}=(-1)\vec{v} e, em coordenadas, se \vec{v}=(v_{1},\dots,v_{n}) então -\vec{v}=(-v_{1},\dots,-v_{n}).