Exercício 4.5 Considere que uma pedra foi solta de um ponto O a uma altura de 122,5 metros do solo. Neste caso, desprezando-se a resistência do ar, a distância da pedra até o ponto O é dada por
metros, sendo t medido em segundos. Calcule:
(i) o tempo total de queda da pedra.
(ii) a altura da pedra após 1 segundo.
(iii) a altura da pedra após 2 segundos.
(iv) velocidade média da pedra ao longo do
segundo de queda.
velocidade média da pedra ao longo do
segundo de queda.
(vi) velocidade média da pedra ao longo do último segundo de queda.
(vii) velocidade média da pedra durante ao longo de todo o tempo de queda.
(viii) velocidade instantânea da pedra ao final do
segundo de queda.
(ix) velocidade instantânea da pedra ao final do
segundo de queda.
velocidade instantânea da pedra ao se chocar com o solo.
(xi) aceleração instantânea da pedra ao final do
segundo de queda.
(xii) aceleração instantânea da pedra ao final do
segundo de queda.
(xiii) aceleração instantânea da pedra ao se chocar com o solo.
(i) o tempo total de queda da pedra.
(ii) a altura da pedra após 1 segundo.
(iii) a altura da pedra após 2 segundos.
(iv) velocidade média da pedra ao longo do
(vi) velocidade média da pedra ao longo do último segundo de queda.
(vii) velocidade média da pedra durante ao longo de todo o tempo de queda.
(viii) velocidade instantânea da pedra ao final do
(ix) velocidade instantânea da pedra ao final do
(xi) aceleração instantânea da pedra ao final do
(xii) aceleração instantânea da pedra ao final do
(xiii) aceleração instantânea da pedra ao se chocar com o solo.
Passo 1
O enunciado apresenta uma pedra solta do repouso a partir de um ponto
localizado a
metros do solo. Desprezando-se a resistência do ar, a distância vertical percorrida desde
até o instante
(em segundos) é dada por
O que precisamos usar é o modelo de queda livre, onde a aceleração é constante e igual a
,m/s
. Vamos calcular:
(i) o tempo total de queda; (ii) a altura restante após s e após
s; (iv)–(vii) velocidades médias em vários intervalos; (viii)–(x) velocidades instantâneas em certos instantes; (xi)–(xiii) aceleração instantânea em certos instantes.
(i) o tempo total de queda; (ii) a altura restante após
Passo 2
Para achar o tempo total de queda, basta resolver
, pois a pedra percorre toda a altura inicial até o solo:
Dividindo ambos os lados por
vem
logo
Passo 3
A altura da pedra acima do solo em qualquer instante
é
.
Para s temos
Para
Para
s temos
Passo 4
Velocidade média entre dois instantes
e
é
Calculamos os pontos-chave:
Assim:
– Primeiro segundo :
– Primeiro segundo
– Segundo segundo
:
– Último segundo
:
– Todo o tempo
:
Passo 5
A velocidade instantânea é
. Como
, temos
Logo:
Passo 6
A aceleração instantânea é
. Como
, obtemos
Portanto, em qualquer instante, inclusive em
,
e
, vale
Resposta
(i)
s.
(ii) m.
(iii) m.
(iv) m/s.
(v) m/s.
(vi) m/s.
(vii) m/s.
(viii) m/s.
(ix) m/s.
(x) m/s.
(xi) m/s
.
(xii) m/s
.
(xiii) m/s
.
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
(xiii)