Exercício 4.5 Considere que uma pedra foi solta de um ponto O a uma altura de 122,5 metros do solo. Neste caso, desprezando-se a resistência do ar, a distância da pedra até o ponto O é dada por \mathrm{s}(\mathrm{t})=4,9 \mathrm{t}^{2} metros, sendo t medido em segundos. Calcule:
(i) o tempo total de queda da pedra.
(ii) a altura da pedra após 1 segundo.
(iii) a altura da pedra após 2 segundos.
(iv) velocidade média da pedra ao longo do 1^{\circ} segundo de queda.
(v) velocidade média da pedra ao longo do 2^{\circ} segundo de queda.
(vi) velocidade média da pedra ao longo do último segundo de queda.
(vii) velocidade média da pedra durante ao longo de todo o tempo de queda.
(viii) velocidade instantânea da pedra ao final do 1^{\circ} segundo de queda.
(ix) velocidade instantânea da pedra ao final do 2^{\circ} segundo de queda.
(x) velocidade instantânea da pedra ao se chocar com o solo.
(xi) aceleração instantânea da pedra ao final do 1^{\circ} segundo de queda.
(xii) aceleração instantânea da pedra ao final do 2^{\circ} segundo de queda.
(xiii) aceleração instantânea da pedra ao se chocar com o solo.

Passo 1

O enunciado apresenta uma pedra solta do repouso a partir de um ponto O localizado a 122,5 metros do solo. Desprezando-se a resistência do ar, a distância vertical percorrida desde O até o instante t (em segundos) é dada por
s(t)=4,9\,t^{2}\quad(\text{metros}).
O que precisamos usar é o modelo de queda livre, onde a aceleração é constante e igual a g=9,8,m/s ^2. Vamos calcular:
(i) o tempo total de queda; (ii) a altura restante após 1 s e após 2 s; (iv)–(vii) velocidades médias em vários intervalos; (viii)–(x) velocidades instantâneas em certos instantes; (xi)–(xiii) aceleração instantânea em certos instantes.

Passo 2

Para achar o tempo total de queda, basta resolver s(t)=122,5, pois a pedra percorre toda a altura inicial até o solo:
4,9\,t^{2}=122,5.
Dividindo ambos os lados por 4,9 vem
t^{2}=\frac{122,5}{4,9}=25
logo
t=5\quad(\text{s}).

Passo 3

A altura da pedra acima do solo em qualquer instante t é H(t)=122,5 - s(t).
Para t=1 s temos
s(1)=4,9\cdot1^{2}=4,9,\quad H(1)=122,5-4,9=117,6\text{ m}.
Para t=2 s temos
s(2)=4,9\cdot2^{2}=19,6,\quad H(2)=122,5-19,6=102,9\text{ m}.

Passo 4

Velocidade média entre dois instantes t=a e t=b é
v_{\text{méd}}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}.é
Calculamos os pontos-chave:
s(0)=0,\quad s(1)=4,9,\quad s(2)=19,6,\quad s(4)=4,9\cdot16=78,4,\quad s(5)=122,5.
Assim:
– Primeiro segundo 0\to1:
v_{\text{méd},1}=\frac{s(1)-s(0)}{1-0}=\frac{4,9-0}{1}=4,9\text{ m/s}.é
– Segundo segundo 1\to2:
v_{\text{méd},2}=\frac{19,6-4,9}{1}=14,7\text{ m/s}.é
– Último segundo 4\to5:
v_{\text{méd},\text{últ}}=\frac{122,5-78,4}{1}=44,1\text{ m/s}.éú
– Todo o tempo 0\to5:
v_{\text{méd},\text{tot}}=\frac{122,5-0}{5}=24,5\text{ m/s}.é

Passo 5

A velocidade instantânea é v(t)=s'(t). Como s(t)=4,9\,t^{2}, temos
v(t)=\frac{d}{dt}(4,9\,t^{2})=9,8\,t.
Logo:
v(1)=9,8\cdot1=9,8\text{ m/s},\quad v(2)=9,8\cdot2=19,6\text{ m/s},\quad v(5)=9,8\cdot5=49\text{ m/s}.

Passo 6

A aceleração instantânea é a(t)=v'(t). Como v(t)=9,8\,t, obtemos
a(t)=9,8\text{ m/s}^{2}\quad(\text{constante}).
Portanto, em qualquer instante, inclusive em t=1, t=2 e t=5, vale
a=9,8\text{ m/s}^{2}.

Resposta

(i) 5 s.
(ii) 117,6 m.
(iii) 102,9 m.
(iv) 4,9 m/s.
(v) 14,7 m/s.
(vi) 44,1 m/s.
(vii) 24,5 m/s.
(viii) 9,8 m/s.
(ix) 19,6 m/s.
(x) 49 m/s.
(xi) 9,8 m/s ^2.
(xii) 9,8 m/s ^2.
(xiii) 9,8 m/s ^2.

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