Exercício 4. Um tanque contém 40 galões de água pura. Salmoura com 3 libras de sal por galão flui para dentro à taxa de 2 galões por minuto, e a mistura agitada flui para fora à taxa de 3 galões por minuto.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque quando a salmoura nele tiver sido reduzida para 20 galões.
(b) Quando a quantidade de sal no tanque é maior?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura em que a água pura no tanque é substituída por salmoura a 2 galões/min com concentração de 3 lb/gal, enquanto a mistura sai a 3 galões/min. Definimos: \,V(t) = volume no tanque em galões, \,S(t) = quantidade de sal no tanque em libras.
O conteúdo é resolução de equação diferencial de primeira ordem (linear) para S(t), usando também a expressão de V(t).

Passo 2

Como entra 2 gal/min e sai 3 gal/min, temos
\frac{dV}{dt}=2-3=-1,
com V(0)=40, portanto
V(t)=40-t.
A taxa de variação do sal é
\frac{dS}{dt} = (\text{taxa de entrada}) - (\text{taxa de saída}) =2\cdot3 - 3\cdot\frac{S}{V(t)} =6 - \frac{3S}{40 - t}.í
Isso gera a EDO linear
\frac{dS}{dt} + \frac{3}{40 - t}\,S = 6,
com S(0)=0.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \frac{3}{40 - t}dt\Bigr) =\exp\bigl(-3\ln(40-t)\bigr) =(40-t)^{-3}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl[S\,(40-t)^{-3}\bigr] =6\,(40-t)^{-3}.
Integrando,
S\,(40-t)^{-3} =\int 6\,(40-t)^{-3}\,dt =3\,(40-t)^{-2} + C.
Logo
S(t)=3(40-t) + C\,(40-t)^3.
Como S(0)=0,
0=3\cdot40 + C\cdot40^3 \implies C=-\frac{3}{1600}.
Portanto
S(t)=120 -3t - \frac{3}{1600}\,(40-t)^3.

Passo 4

(a) Quando o volume chega a 20 galões, 40 - t =20\implies t=20 min. Substituindo:
S(20)=120 -3\cdot20 - \frac{3}{1600}\,20^3 =120 -60 - \frac{3\cdot8000}{1600} =60 -15 =45.
Logo há 45 libras de sal.

Passo 5

(b) Para achar o instante de máximo, igualamos \tfrac{dS}{dt}=0:
6 - \frac{3S}{40 - t}=0 \implies S=2\,(40 - t).
Usando a expressão de S(t), define-se x=40-t e obtém-se
x\,(1600-3x^2)=0 \implies x=0 \text{ ou } x=\frac{40}{\sqrt3}.
Desconsideramos x=0. Assim o máximo ocorre quando
40-t=\frac{40}{\sqrt3} \implies t=40 - \frac{40}{\sqrt3}\approx16{,}9\text{ min},
isto é, quando o volume é \tfrac{40}{\sqrt3}\approx23{,}1 galões.

Resposta

(a) 45 libras de sal.
(b) A quantidade de sal é máxima em
t=40 - \frac{40}{\sqrt3}\approx16{,}9\text{ minutos},
quando o volume é 40/\sqrt3\approx23{,}1 galões.

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