Exercício 4. Um tanque contém 40 galões de água pura. Salmoura com 3 libras de sal por galão flui para dentro à taxa de 2 galões por minuto, e a mistura agitada flui para fora à taxa de 3 galões por minuto.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque quando a salmoura nele tiver sido reduzida para 20 galões.
(b) Quando a quantidade de sal no tanque é maior?
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque quando a salmoura nele tiver sido reduzida para 20 galões.
(b) Quando a quantidade de sal no tanque é maior?
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura em que a água pura no tanque é substituída por salmoura a
galões/min com concentração de
lb/gal, enquanto a mistura sai a
galões/min. Definimos:
= volume no tanque em galões,
= quantidade de sal no tanque em libras.
O conteúdo é resolução de equação diferencial de primeira ordem (linear) para , usando também a expressão de
.
O conteúdo é resolução de equação diferencial de primeira ordem (linear) para
Passo 2
Como entra
gal/min e sai
gal/min, temos
com
, portanto
A taxa de variação do sal é
Isso gera a EDO linear
com
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO por
obtemos
Integrando,
Logo
Como
,
Portanto
Passo 4
(a) Quando o volume chega a
galões,
min. Substituindo:
Logo há
libras de sal.
Passo 5
(b) Para achar o instante de máximo, igualamos
:
Usando a expressão de
, define-se
e obtém-se
Desconsideramos
. Assim o máximo ocorre quando
isto é, quando o volume é
galões.
Resposta
(a)
libras de sal.
(b) A quantidade de sal é máxima em
(b) A quantidade de sal é máxima em
quando o volume é
galões.