Exercício 4. Um tanque contém 40 galões de água pura. Salmoura com 3 libras de sal por galão flui para dentro à taxa de 2 galões por minuto, e a mistura agitada flui para fora à taxa de 3 galões por minuto.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque quando a salmoura nele tiver sido reduzida para 20 galões.
(b) Quando a quantidade de sal no tanque é maior?

Passo 1

O enunciado diz que num tanque de 40 galões de água pura entra salmoura com concentração 3 lb/galão a 2 galões/min e sai mistura a 3 galões/min. Como a vazão de saída é maior, o volume decresce linearmente.
(a) Pede a quantidade de sal S quando o volume atingir 20 galões.
(b) Pede o instante em que S é máximo.
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem e fator integrante.

Passo 2

Definimos S(t) = quantidade de sal (libras) e V(t)=40 - t (galões). A equação de balanço é
\frac{dS}{dt} = \text{entrada} - \text{saída} = 3\cdot 2 \;-\;\frac{S}{V(t)}\cdot 3 = 6 - \frac{3}{40 - t}\,S.í

Passo 3

Colocando em forma padrão
\frac{dS}{dt} + \frac{3}{40 - t}S = 6
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\int \frac{3}{40 - t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(-3\ln(40 - t)\bigr) =(40 - t)^{-3}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) resulta
\frac{d}{dt}\bigl[S(40 - t)^{-3}\bigr] =6(40 - t)^{-3}.
Integrando,
S(40 - t)^{-3} =\int 6(40 - t)^{-3}\,dt =\frac{3}{(40 - t)^2}+C \;\Longrightarrow\; S(t)=3(40 - t)+C(40 - t)^3.

Passo 4

Condição inicial: S(0)=0 (água pura), logo
0 = 3\cdot40 + C\cdot40^3 \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{3}{1600}.
Assim
S(t)=3(40 - t)-\frac{3}{1600}(40 - t)^3.

Passo 5

(a) Para V=20 galões, 40 - t=20 implica t=20 min. Então
S(20) =3\cdot20-\frac{3}{1600}\,20^3 =60-15 =45\text{ libras}.

Passo 6

(b) S é máximo quando \tfrac{dS}{dt}=0. Da EDO:
6-\frac{3}{40 - t}S=0 \;\Longrightarrow\; S=2(40 - t).
Seja u=40 - t. Igualando à expressão de S(t):
3u-\frac{3}{1600}u^3=2u \;\Longrightarrow\; u^2=\frac{1600}{3} \;\Longrightarrow\; u=\frac{40}{\sqrt3}.
Logo
t=40-\frac{40}{\sqrt3}\approx16{,}9\text{ min}, \quad V=u\approx23{,}1\text{ galões}, \quad S_{\max}=2u=\frac{80}{\sqrt3}\approx46{,}2\text{ lb}.õ

Resposta

(a) 45 libras.
(b) Acontece em
t=40-\frac{40}{\sqrt3}\approx16{,}9\text{ minutos},
quando restam 40/\sqrt3\approx23{,}1 galões e S_{\max}=80/\sqrt3\approx46{,}2 libras.

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