Exercício 4. Um tanque contém 40 galões de água pura. Salmoura com 3 libras de sal por galão flui para dentro à taxa de 2 galões por minuto, e a mistura agitada flui para fora à taxa de 3 galões por minuto.
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque quando a salmoura nele tiver sido reduzida para 20 galões.
(b) Quando a quantidade de sal no tanque é maior?
(a) Encontre a quantidade de sal no tanque quando a salmoura nele tiver sido reduzida para 20 galões.
(b) Quando a quantidade de sal no tanque é maior?
Passo 1
O enunciado diz que num tanque de
galões de água pura entra salmoura com concentração
lb/galão a
galões/min e sai mistura a
galões/min. Como a vazão de saída é maior, o volume decresce linearmente.
(a) Pede a quantidade de sal quando o volume atingir
galões.
(b) Pede o instante em que é máximo.
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem e fator integrante.
(a) Pede a quantidade de sal
(b) Pede o instante em que
Conteúdo: equação diferencial linear de 1ª ordem e fator integrante.
Passo 2
Definimos
= quantidade de sal (libras) e
(galões). A equação de balanço é
Passo 3
Colocando em forma padrão
o fator integrante é
Multiplicando a EDO por
resulta
Integrando,
Passo 4
Condição inicial:
(água pura), logo
Assim
Passo 5
(a) Para
galões,
implica
min. Então
Passo 6
(b)
é máximo quando
. Da EDO:
Seja
. Igualando à expressão de
:
Logo
Resposta
(a)
libras.
(b) Acontece em
(b) Acontece em
quando restam
galões e
libras.