Exercício 3. A equação de Hermite é
(a) Encontre a solução geral pelo método de séries de potências.
(b) Se
, verifique que existe uma solução que é um polinômio de grau
e é único a menos de multiplicação por um escalar. Chama-se de polinômio de Hermite de grau
ao polinômio
que se obtém impondo a condição de que o termo de maior grau seja
. Verifique que
(c) Para os polinômios de Hermite, vale a fórmula de Rodrigues
Verifique este fato para alguns dos polinômios listados acima, por exemplo, para
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado dá a equação de Hermite
e pede
(a) a solução geral por séries de potências;
(b) que, para , mostremos que surge uma solução polinomial de grau
, única a menos de constante, normalizada para ter termo de maior grau
— os polinômios de Hermite
— e que listemos
até
;
(c) verificar a fórmula de Rodrigues
(a) a solução geral por séries de potências;
(b) que, para
(c) verificar a fórmula de Rodrigues
especialmente para
.
Passo 2
Assumimos
Então
Substituindo em
, reindexando para alinhar potências de
, obtemos a relação de recorrência
Passo 3
Essa recorrência separa coeficientes pares e ímpares, gerando duas séries independentes:
A solução geral é
com
constantes. Para
, ambas as séries são infinitas.
Passo 4
Se
, a recorrência dá
e então todos os coeficientes acima de
anulam: a série termina e vira polinômio de grau
. Escolhendo a normalização que faz o coeficiente de
igual a
, obtemos os polinômios de Hermite
Passo 5
Para verificar a fórmula de Rodrigues em
, calculamos
Multiplicando por
, vem
que coincide com o polinômio
acima.
Resposta
(a) A solução geral é
com
(b) Para
surge o polinômio de Hermite
de grau
, único até constante e normalizado com termo líder
. Os primeiros são
(c) A fórmula de Rodrigues
foi verificada para
, pois produz exatamente
.