Exercício 3. A equação de Hermite é
y^prime prime-2 x y^prime+2 p y=0 , p=const
(a) Encontre a solução geral pelo método de séries de potências.
(b) Se p=n=0,1,2,3, ldots, verifique que existe uma solução que é um polinômio de grau n e é único a menos de multiplicação por um escalar. Chama-se de polinômio de Hermite de grau n ao polinômio Hn(x) que se obtém impondo a condição de que o termo de maior grau seja 2^n x^n. Verifique que
lll H0(x)=1 & , H1(x)=2 x & , H2(x)=4 x-2 H3(x)=8 x^3-12 x & , & H4(x)=16 x^4-48 x^2+12 , H5(x)=32 x^5-160 x^3+120 x
(c) Para os polinômios de Hermite, vale a fórmula de Rodrigues
Hn(x)=(-1)^n e^x^2 d^nd x^n e^-x^2
Verifique este fato para alguns dos polinômios listados acima, por exemplo, para H4(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação de Hermite
y'' - 2x,y' + 2p,y = 0, p=constante,
e pede
(a) a solução geral por séries de potências;
(b) que, para p=nin0,1,2,dots, mostremos que surge uma solução polinomial de grau n, única a menos de constante, normalizada para ter termo de maior grau 2^n x^n — os polinômios de Hermite Hn(x) — e que listemos H0 até H5;
(c) verificar a fórmula de Rodrigues
Hn(x)=(-1)^n e^x^2d^ndx^ne^-x^2
especialmente para n=4.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumk=0^infty ak,x^k
Então
y'(x)=sumk=1^infty k,ak,x^k-1, y''(x)=sumk=2^infty k(k-1),ak,x^k-2
Substituindo em y''-2x,y'+2p,y=0, reindexando para alinhar potências de x^m, obtemos a relação de recorrência
ak+2 ;=;2,(k - p + 1)(k+2)(k+1),ak, k>=0

Passo 3

Essa recorrência separa coeficientes pares e ímpares, gerando duas séries independentes:
yrm par(x)=summ=0^infty a2m,x^2m, yrm ímpar(x)=summ=0^infty a2m+1,x^2m+1 í
A solução geral é
y(x)=A,yrm par(x)+B,yrm ímpar(x), í
com A,B constantes. Para pnotinN, ambas as séries são infinitas.

Passo 4

Se p=nin0,1,2,dots, a recorrência dá an+2=0 e então todos os coeficientes acima de x^n anulam: a série termina e vira polinômio de grau n. Escolhendo a normalização que faz o coeficiente de x^n igual a 2^n, obtemos os polinômios de Hermite
H0(x)&=1, H1(x)&=2x, H2(x)&=4x^2-2, H3(x)&=8x^3-12x, H4(x)&=16x^4-48x^2+12, H5(x)&=32x^5-160x^3+120x

Passo 5

Para verificar a fórmula de Rodrigues em n=4, calculamos
ddxe^-x^2=-2x,e^-x^2, d^2dx^2e^-x^2=(4x^2-2),e^-x^2,
d^3dx^3e^-x^2=(-8x^3+12x),e^-x^2, d^4dx^4e^-x^2=(16x^4-48x^2+12),e^-x^2
Multiplicando por (-1)^4e^x^2=e^x^2, vem
H4(x) =e^x^2d^4dx^4e^-x^2 =16x^4-48x^2+12,
que coincide com o polinômio H4 acima.

Resposta

(a) A solução geral é
y(x)=Asumm=0^infty a2mx^2m+Bsumm=0^infty a2m+1x^2m+1,
com
ak+2=2,(k-p+1)(k+2)(k+1),ak
(b) Para p=ninN surge o polinômio de Hermite Hn(x) de grau n, único até constante e normalizado com termo líder 2^n x^n. Os primeiros são
H0=1,;H1=2x,;H2=4x^2-2,;H3=8x^3-12x,;H4=16x^4-48x^2+12,;H5=32x^5-160x^3+120x
(c) A fórmula de Rodrigues
Hn(x)=(-1)^n e^x^2d^ndx^ne^-x^2
foi verificada para n=4, pois produz exatamente 16x^4-48x^2+12.

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