Problema 03 Calcular a derivada.
f(s)=12(a+b s)^ln (a+b s)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(s)=12l(a+b,sr)^lnl(a+b,sr)
Aqui vamos usar a regra da cadeia combinada com a fórmula de derivada de uma função do tipo u(s)^v(s).

Passo 2

Definimos
u(s)=a+b,s, v(s)=lnl(u(s)r)
Assim podemos reescrever
f(s)=12,u(s)^v(s)

Passo 3

Usamos a fórmula geral
ddsl[u(s)^v(s)r] = u(s)^v(s)l[v'(s),ln u(s)+v(s),tfracu'(s)u(s)r]
Então
f'(s) =12;ddsl[u(s)^v(s)r] =12,u(s)^v(s)l[v'(s),ln u(s)+v(s),tfracu'(s)u(s)r]

Passo 4

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(s)=b, v'(s)=ddslnl(u(s)r) =u'(s)u(s) =bu(s)

Passo 5

Substituindo em l[v'(s)ln u(s)+v(s)tfracu'(s)u(s)r] obtemos
v'(s),ln u(s) +;v(s),u'(s)u(s) =bu(s),ln u(s) +ln u(s),bu(s) =2,bu(s),ln u(s)

Passo 6

Logo
f'(s) =12,u(s)^v(s);2,bu(s),ln u(s) =;b,u(s)^v(s)u(s),ln u(s)
Voltando a u(s)=a+b,s e v(s)=ln(a+b,s), concluímos
f'(s) =b;l(a+b,sr)^ln(a+b,s)a+b,s;lnl(a+b,sr)

Resposta

boxed,f'(s) =b,l(a+b,sr)^ln(a+b,s)a+b,s,lnl(a+b,sr),

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