Exercício 9. As equações abaixo dão a posição de uma partícula em um dado tempo
num intervalo especificado. Em cada item, encontre as velocidades inicial e final e a distância percorrida.
;
Passo 1
O enunciado dá a trajetória de uma partícula no plano por
e pede: a velocidade inicial, a velocidade final e a distância percorrida.
O conteúdo aqui é cinemática de movimento paramétrico: vamos derivar para obter a velocidade e integrar o módulo da velocidade para achar o comprimento de arco.
O conteúdo aqui é cinemática de movimento paramétrico: vamos derivar para obter a velocidade e integrar o módulo da velocidade para achar o comprimento de arco.
Passo 2
Derivamos cada componente para achar o vetor velocidade:
Isso vem direto de
e
.
Passo 3
A velocidade escalar (módulo de
) é
No instante inicial
:
No instante final
:
Passo 4
Para a distância percorrida usamos o comprimento de curva
Passo 5
Usamos a antiderivada padrão
logo
No limite superior
obtemos
e no inferior dá zero. Portanto
Resposta
Velocidade inicial
.
Velocidade final .
Distância percorrida .
Velocidade final
Distância percorrida