Exercício 9. As equações abaixo dão a posição de uma partícula em um dado tempo t num intervalo especificado. Em cada item, encontre as velocidades inicial e final e a distância percorrida.
x(t)=t^2, y(t)=2 t, 0<t<raiz3;

Passo 1

O enunciado dá a trajetória de uma partícula no plano por
x(t)=t^2, y(t)=2t, 0<= t<= raiz3,
e pede: a velocidade inicial, a velocidade final e a distância percorrida.
O conteúdo aqui é cinemática de movimento paramétrico: vamos derivar para obter a velocidade e integrar o módulo da velocidade para achar o comprimento de arco.

Passo 2

Derivamos cada componente para achar o vetor velocidade:
vec v(t)=l(x'(t),,y'(t)r)=l(2t,,2r)
Isso vem direto de x'(t)=ddt(t^2)=2t e y'(t)=ddt(2t)=2.

Passo 3

A velocidade escalar (módulo de vec v) é
|vec v(t)|=raiz(2t)^2+2^2=2raizt^2+1
No instante inicial t=0:
|vec v(0)|=2raiz0^2+1=2
No instante final t=raiz3:
|vec v(raiz3)|=2raiz(raiz3)^2+1=2raiz3+1=2cdot2=4

Passo 4

Para a distância percorrida usamos o comprimento de curva
s=integral0^raiz3|vec v(t)|,dt =integral0^raiz32raizt^2+1,dt

Passo 5

Usamos a antiderivada padrão
integral raizt^2+1,dt =12l(traizt^2+1+lnl(t+raizt^2+1r)r),
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s =2integral0^raiz3raizt^2+1,dt =l[traizt^2+1+lnl(t+raizt^2+1r)r]0^raiz3
No limite superior t=raiz3 obtemos
raiz3cdot2+lnl(raiz3+2r) =2raiz3+lnl(2+raiz3r),
e no inferior dá zero. Portanto
s=2raiz3+lnl(2+raiz3r)

Resposta

Velocidade inicial |vec v(0)|=2.
Velocidade final |vec v(raiz3)|=4.
Distância percorrida s=2raiz3+lnl(2+raiz3r).

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