Exercício 9. As equações abaixo dão a posição de uma partícula em um dado tempo t num intervalo especificado. Em cada item, encontre as velocidades inicial e final e a distância percorrida.
x(t)=t-1, y(t)=12 t^2, 0<t<1;

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas paramétricas da partícula
x(t)=t-1, y(t)=tfrac12,t^2, 0<= t<=1
e pede a velocidade inicial e final, além da distância total percorrida.
Conteúdo: derivada de funções paramétricas para achar a velocidade e integral da velocidade escalar para a distância.

Passo 2

Para achar a velocidade vetorial v(t), derivamos cada coordenada em relação a t:
v(t)=l(x'(t),,y'(t)r) =(1,,t)
A velocidade escalar (módulo) é
|v(t)|=raiz1^2+t^2=raiz1+t^2

Passo 3

Avaliação nos extremos do intervalo:
- Velocidade inicial em t=0:
v(0) = (1,0)
- Velocidade final em t=1:
v(1) = (1,1)

Passo 4

A distância percorrida é o comprimento de arco
s=integral0^1|v(t)|,dt =integral0^1raiz1+t^2,dt
Usamos a antiderivada
integralraiz1+t^2,dt =tfrac12l(traiz1+t^2+ln(t+raiz1+t^2)r),
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s=tfrac12l(traiz1+t^2+ln(t+raiz1+t^2)r)|0^1 =raiz2+lnl(1+raiz2r)2

Resposta

Velocidade inicial: v(0)=(1,0)
Velocidade final: v(1)=(1,1)
Distância percorrida: raiz2+lnl(1+raiz2r)2

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