Qual o resultado do limite lim t 0(t^t-1t, raiz1+t-1t, 3t+1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando t se aproxima de 0 para a seguinte expressão vetorial:
limt 0 ( t^t - 1t, raiz1+t - 1t, 3t + 1 )
Aqui, estamos lidando com três funções diferentes dentro de um limite vetorial. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente separadamente. Vamos precisar usar conhecimentos de limites, exponenciais, radicais e operações básicas com limites.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro componente:
limt 0 t^t - 1t
Primeiro, precisamos entender o que é t^t . Podemos reescrever t^t usando a propriedade das potências:
t^t = e^t ln t
Quando t se aproxima de 0, ln t vai para menos infinito, mas multiplicado por t , que vai para 0, então t ln t também vai para 0. Assim:
limt 0 t^t = e^0 = 1
Então, substituindo de volta na expressão do limite:
limt 0 1 - 1t = limt 0 0t = 0
Mas, na verdade, para uma análise mais precisa, podemos usar a expansão em série de t^t perto de t = 0 :
t^t approx 1 + t ln t
Então:
t^t - 1t approx 1 + t ln t - 1t = ln t
E sabemos que limt 0 ln t = -infty , o que indica que o limite original tende a -infty.
Resultado do primeiro componente:
limt 0 t^t - 1t = -infty

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente:
limt 0 raiz1+t - 1t
Aqui, temos uma expressão que se assemelha à definição de derivada da função f(t) = raiz1+t em t = 0 . Mas, para resolver, podemos racionalizar o numerador:
Multiplicamos numerador e denominador por raiz1+t + 1 :
raiz1+t - 1t cdot raiz1+t + 1raiz1+t + 1 = (1+t) - 1t (raiz1+t + 1) = tt (raiz1+t + 1) = 1raiz1+t + 1
Agora, podemos substituir t = 0 :
1raiz1+0 + 1 = 11 + 1 = 12
Resultado do segundo componente:
limt 0 raiz1+t - 1t = 12

Passo 4

Por último, vamos resolver o terceiro componente:
limt 0 3t + 1
Essa é uma função racional simples. Basta substituir t = 0 :
30 + 1 = 31 = 3
Resultado do terceiro componente:
limt 0 3t + 1 = 3

Resposta

Então, juntando os resultados dos três componentes, temos:
limt 0 ( t^t - 1t, raiz1+t - 1t, 3t + 1 ) = ( -infty, 12, 3 )

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