Qual o resultado do limite
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a seguinte expressão vetorial:
Aqui, estamos lidando com três funções diferentes dentro de um limite vetorial. Para resolver isso, vamos calcular o limite de cada componente separadamente. Vamos precisar usar conhecimentos de limites, exponenciais, radicais e operações básicas com limites.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro componente:
Primeiro, precisamos entender o que é
. Podemos reescrever
usando a propriedade das potências:
Quando
se aproxima de 0,
vai para menos infinito, mas multiplicado por
, que vai para 0, então
também vai para 0. Assim:
Então, substituindo de volta na expressão do limite:
Mas, na verdade, para uma análise mais precisa, podemos usar a expansão em série de
perto de
:
Então:
E sabemos que
, o que indica que o limite original tende a
.
Resultado do primeiro componente:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo componente:
Aqui, temos uma expressão que se assemelha à definição de derivada da função
em
. Mas, para resolver, podemos racionalizar o numerador:
Multiplicamos numerador e denominador por
:
Agora, podemos substituir
:
Resultado do segundo componente:
Passo 4
Por último, vamos resolver o terceiro componente:
Essa é uma função racional simples. Basta substituir
:
Resultado do terceiro componente:
Resposta
Então, juntando os resultados dos três componentes, temos: