Exercício 2 - Para as equações autônomas dadas
Esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a equação autônoma
com
Pede-se:
- esboçar o gráfico de
em função de ; - determinar os pontos de equilíbrio (valores de
com ); - classificar cada equilíbrio como estável ou instável, justificando.
Vou trabalhar passo a passo, explicando os conceitos usados (o que é equilíbrio, como usar o sinal de
para o diagrama de fase e como usar a linearização
para classificar a estabilidade).
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio (raízes de
).
Primeiro fatoro
. Observando o polinômio,
logo
As raízes (pontos onde
) são, portanto
Explicação didática curta: um ponto
é equilíbrio se ficar parado no tempo, isto é,
quando
. Por isso procuramos
.
Passo 3
Esboço qualitativo e análise de sinais (método do “linha de fase”).
Para esboçar
e decidir estabilidade, é útil ver o sinal de
em cada intervalo definido pelas raízes:
. Vou testar um ponto em cada intervalo.
Escolho os pontos
e calculo
neles usando a forma fatorada.
-
:
-
:
-
:
-
:
Resumo dos sinais:
Interpretação (linha de fase): quando
o valor de
aumenta (seta para a direita); quando
diminui (seta para a esquerda). Assim, no eixo
(linha de fase):
- Para
as setas apontam para a esquerda (movimento para valores menores). - Entre
e as setas apontam para a direita. - Entre
e as setas apontam para a esquerda. - Para
as setas apontam para a direita.
Com isso, cada equilíbrio é:
-
: à esquerda a seta aponta para a esquerda (afasta de ), à direita aponta para a direita (afasta de ) → as setas saem do ponto ⇒ é instável. -
: à esquerda seta para a direita e à direita seta para a esquerda → as setas apontam para ⇒ é estável. -
: à esquerda seta para a esquerda e à direita seta para a direita → as setas saem do ponto ⇒ é instável.
Esse é o método gráfico/fácil em 1D: se as trajetórias convergem para o ponto a partir de ambos os lados, é estável (poço); se divergem para ambos os lados, é instável (fonte).
Passo 4
Classificação pela linearização (verificação matemática).
Para uma raiz simples de
(ou seja,
), a estabilidade pode ser determinada pelo sinal de
:
- Se
o equilíbrio é linearmente estável (pequenas perturbações decaem exponencialmente). - Se
o equilíbrio é linearmente instável.
Calculo
. Partindo de
,
Avalio em cada equilíbrio:
- Em
:
portanto
é instável (coerente com a análise de sinais).
- Em
:
portanto
é estável.
- Em
:
portanto
é instável.
Observação didática: aqui todas as raízes são simples (cada fator aparece apenas uma vez), então o critério linear é aplicável e coincide com a análise do sinal.
Passo 5
Esboço do gráfico de
(descrição para desenhar à mão rápida):
-
é um polinômio cúbico com coeficiente líder , então e . - Corta o eixo
em . - Tem um máximo local entre
e (aprox. em ) com e um mínimo local entre e (aprox. em ) com . Esses valores ajudam a desenhar a forma de “S” levemente assimétrica. - Traçando: descer vindo da esquerda, cruzar em
(saiu para cima), atingir máximo, cruzar em (descer), atingir mínimo, cruzar em e subir para .
Se for desenhar rápido em prova: marque os zeros
, coloque setas do passo 3 na linha de fase e rascunhe um cúbico que respeite esses cruzamentos e o comportamento nas extremidades.
Passo 6
Recapitulando (justificativa completa):
- As raízes foram encontradas por fatoração.
- A análise do sinal de
em cada intervalo fornece a direção do fluxo e mostra se soluções próximas convergem ou divergem do ponto de equilíbrio. - A verificação pela derivada
confirma a classificação (raízes simples com estáveis, instáveis).