Exercício 2 - Para as equações autônomas dadas
\frac{d y}{d t}=f(y)
Esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Justifique.
\frac{d y}{d t}=y\left(y^{2}+3 y+2\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y)
com
f(y)=y\bigl(y^{2}+3y+2\bigr).
Pede-se:
  • esboçar o gráfico de f(y) em função de y;
  • determinar os pontos de equilíbrio (valores de y com f(y)=0);
  • classificar cada equilíbrio como estável ou instável, justificando.
Vou trabalhar passo a passo, explicando os conceitos usados (o que é equilíbrio, como usar o sinal de f para o diagrama de fase e como usar a linearização f'(y) para classificar a estabilidade).

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio (raízes de f).
Primeiro fatoro f(y). Observando o polinômio,
y^{2}+3y+2=(y+1)(y+2),
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f(y)=y(y+1)(y+2).
As raízes (pontos onde f(y)=0) são, portanto
y= -2,\quad y=-1,\quad y=0.
Explicação didática curta: um ponto y_\text{eq} é equilíbrio se ficar parado no tempo, isto é, \frac{dy}{dt}=0 quando y=y_\text{eq}. Por isso procuramos f(y)=0.

Passo 3

Esboço qualitativo e análise de sinais (método do “linha de fase”).
Para esboçar f(y) e decidir estabilidade, é útil ver o sinal de f(y) em cada intervalo definido pelas raízes: (-\infty,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,\infty). Vou testar um ponto em cada intervalo.
Escolho os pontos -3,\,-1{,}5,\,-0{,}5,\,1 e calculo f neles usando a forma fatorada.
  1. y=-3:
f(-3)=(-3)\bigl((-3)+1\bigr)\bigl((-3)+2\bigr)=(-3)(-2)(-1) = -6<0.
  1. y=-1{,}5:
f(-1{,}5)=(-1{,}5)(-0{,}5)(0{,}5)=(-1{,}5)\cdot(-0{,}25)=0{,}375>0.
  1. y=-0{,}5:
f(-0{,}5)=(-0{,}5)(0{,}5)(1{,}5)=(-0{,}5)\cdot(0{,}75)=-0{,}375<0.
  1. y=1:
f(1)=1\cdot 2\cdot 3=6>0.
Resumo dos sinais:
\begin{array}{c} (-\infty,-2):\\ f<0,\\\ (-2,-1):\\ f>0,\\\ (-1,0):\\ f<0,\\\ (0,\infty):\\ f>0. \end{array}
Interpretação (linha de fase): quando f(y)>0 o valor de y aumenta (seta para a direita); quando f(y)<0 y diminui (seta para a esquerda). Assim, no eixo y (linha de fase):
  • Para y<-2 as setas apontam para a esquerda (movimento para valores menores).
  • Entre -2 e -1 as setas apontam para a direita.
  • Entre -1 e 0 as setas apontam para a esquerda.
  • Para y>0 as setas apontam para a direita.
Com isso, cada equilíbrio é:
  • y=-2: à esquerda a seta aponta para a esquerda (afasta de -2), à direita aponta para a direita (afasta de -2) → as setas saem do ponto ⇒ y=-2 é instável.
  • y=-1: à esquerda seta para a direita e à direita seta para a esquerda → as setas apontam para -1 y=-1 é estável.
  • y=0: à esquerda seta para a esquerda e à direita seta para a direita → as setas saem do ponto ⇒ y=0 é instável.
Esse é o método gráfico/fácil em 1D: se as trajetórias convergem para o ponto a partir de ambos os lados, é estável (poço); se divergem para ambos os lados, é instável (fonte).

Passo 4

Classificação pela linearização (verificação matemática).
Para uma raiz simples de f (ou seja, f'(y_\text{eq})\neq0), a estabilidade pode ser determinada pelo sinal de f'(y_\text{eq}):
  • Se f'(y_\text{eq})<0 o equilíbrio é linearmente estável (pequenas perturbações decaem exponencialmente).
  • Se f'(y_\text{eq})>0 o equilíbrio é linearmente instável.
Calculo f'(y). Partindo de f(y)=y^{3}+3y^{2}+2y,
f'(y)=3y^{2}+6y+2.
Avalio em cada equilíbrio:
  1. Em y=-2:
f'(-2)=3\cdot(-2)^{2}+6\cdot(-2)+2=12-12+2=2>0,
portanto y=-2 é instável (coerente com a análise de sinais).
  1. Em y=-1:
f'(-1)=3\cdot1+6\cdot(-1)+2=3-6+2=-1<0,
portanto y=-1 é estável.
  1. Em y=0:
f'(0)=2>0,
portanto y=0 é instável.
Observação didática: aqui todas as raízes são simples (cada fator aparece apenas uma vez), então o critério linear é aplicável e coincide com a análise do sinal.

Passo 5

Esboço do gráfico de f(y) (descrição para desenhar à mão rápida):
  • f(y) é um polinômio cúbico com coeficiente líder +1, então \lim_{y\to-\infty}f(y)=-\infty e \lim_{y\to+\infty}f(y)=+\infty.
  • Corta o eixo y em y=-2,-1,0.
  • Tem um máximo local entre -2 e -1 (aprox. em y\approx -1{,}577) com f\approx 0{,}384 e um mínimo local entre -1 e 0 (aprox. em y\approx -0{,}423) com f\approx -0{,}385. Esses valores ajudam a desenhar a forma de “S” levemente assimétrica.
  • Traçando: descer vindo da esquerda, cruzar em -2 (saiu para cima), atingir máximo, cruzar em -1 (descer), atingir mínimo, cruzar em 0 e subir para +\infty.
Se for desenhar rápido em prova: marque os zeros -2,-1,0, coloque setas do passo 3 na linha de fase e rascunhe um cúbico que respeite esses cruzamentos e o comportamento nas extremidades.

Passo 6

Recapitulando (justificativa completa):
  • As raízes foram encontradas por fatoração.
  • A análise do sinal de f(y) em cada intervalo fornece a direção do fluxo e mostra se soluções próximas convergem ou divergem do ponto de equilíbrio.
  • A verificação pela derivada f'(y) confirma a classificação (raízes simples com f'(y_\text{eq})<0 estáveis, >0 instáveis).

Resposta

y=-2 é instável.
y=-1 é estável.
y=0 é instável.

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