Exercício 3 - Determine os pontos (
) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tem uma única solução.
Se
Se
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: determinar os pontos
tem uma única solução local (ou seja, garantia de existência e unicidade perto de (t_0]).
- O enunciado nos dá a função
- Observações imediatas sobre os dados:
- A expressão
exige que . Portanto está definida apenas para tais que . - Logo, pontos com
não são admissíveis como condição inicial (a equação não está definida aí).]
- A expressão
Passo 2
Qual é a condição clássica que usamos para garantir unicidade (explicação didática).
-
Teorema prático que vamos usar (forma intuitiva): se
é contínua numa vizinhança retangular de e além disso é Lipschitz em nessa vizinhança (uma condição técnica que impede que varie “demais” em ), então existe uma única solução local do PVI passando por . -
Uma maneira simples (e muito usada em prova) de verificar a condição de Lipschitz: se
existe e é contínua numa vizinhança de , então é localmente Lipschitz em lá, e portanto a unicidade está garantida. -
Vou usar essa forma: calcular
e ver onde ela é contínua. Se for contínua num retângulo contendo , então unicidade garantida.
Passo 3
Cálculo da derivada parcial
e domínio onde é contínua.
- Começando de
calculamos a derivada parcial em relação a
. Tratar
como função de
. Para
(onde a raiz é diferenciável), usa-se regra da cadeia:
- Observação sobre continuidade:
é uma função bem definida e contínua sempre que o denominador é estritamente positivo, isto é, quando . Em o denominador é zero, portanto a derivada parcial não existe ali (ou tende a infinito), e não é contínua atravessando esses pontos.
Passo 4
Conclusão para pontos com
: existência e unicidade (explicação passo a passo e intuição).
-
Se
, então existe um retângulo (um pequeno intervalo em e um intervalo em ) contendo que fica todo dentro da região . Nessa região: -
é contínua (produto de e , ambas contínuas), -
existe e é contínua (como mostrado).
-
-
Pela condição mencionada no passo anterior, isso implica que
é localmente Lipschitz em naquele retângulo, e portanto o Teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf) garante que existe e é única a solução do PVI que passa por , pelo menos localmente em torno de . -
Intuição rápida: estar afastado das curvas
evita a singularidade na raiz e na derivada; aí o problema se comporta “bonitinho” e não dá para ter duas trajetórias saindo do mesmo ponto.
Passo 5
Análise do caso
: a unicidade NÃO é garantida — e mostramos um contraexemplo construtivo.
-
Primeiro,
e . Portanto as funções constantes são soluções do ODE e passam por qualquer pontoou . Assim há pelo menos uma solução que fica constante na linha . -
Agora vamos demonstrar que também existe uma solução não-constante que passa por
(mesma ideia para ), mostrando que a unicidade falha. - Suponha que buscamos soluções com
. Podemos separar variáveis: - Integrando ambos os lados (para
, a primitiva no lado esquerdo é a função — que também pode ser escrita como ): onde é constante de integração. - Invertendo
obtemos a família explícita - Agora escolher
para que . Como se e só se , precisamos de Com essa escolha aparece a solução que satisfaz . Essa solução é, em geral, não-constante (varia com ) e portanto é diferente da solução constante . - Ambas as soluções (a constante
e a não-constante acima) passam por . Portanto a unicidade não vale em . - O mesmo raciocínio vale para
: existe a solução constante e também a solução que passa por .
- Suponha que buscamos soluções com
-
Conclusão deste passo: para
não podemos garantir unicidade — de fato a unicidade falha (existem múltiplas soluções que passam pelo mesmo ponto).
Passo 6
Situação para
e resumo final com linguagem direta.
-
Se
a função não está definida no ponto inicial (a raiz fica com argumento negativo). Portanto o PVI nem está bem formulado aí; não se pode aplicar o teorema de existência/únicidade porque não existe nesse ponto. -
Resumo e resposta direta:
- Para quaisquer
com : e são contínuas em uma vizinhança de , logo existe e é única solução local do PVI passando por . - Para
com : está definida mas não existe (singularidade), e a unicidade não é garantida — de fato há múltiplas soluções (ex.: e as soluções à base de mostradas). - Para
: o PVI não está definido (não há no ponto), logo não faz sentido falar em solução inicial aí.
- Para quaisquer
Resposta
Para quaisquer
com
: existe e é única solução local do PVI.
Para com
: a unicidade não é garantida (não é única; por exemplo
e
passam por
).
Para : o PVI não está definido (pois
não existe aí).
Para
Para