Exercício 1 - Usando analise qualitativa, esboce algumas das soluções das seguintes equações diferenciais \frac{d y}{d t}=y-y^{2}
Passo 1
O enunciado pede: "Usando análise qualitativa, esboce algumas das soluções da equação diferencial
\frac{dy}{dt}=y-y^{2}.
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
Equação dada: \dfrac{dy}{dt}=y-y^{2}.
O objetivo: analisar qualitativamente as soluções (pontos de equilíbrio, estabilidade, sentido das soluções na linha de fase) e esboçar o comportamento das soluções para diferentes condições iniciais y(0)=y_0.
Informação disponível: a função do lado direito é f(y)=y-y^{2}=y(1-y). Não há mais dados numéricos; estudar o comportamento geral.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio (pontos críticos). Pontos de equilíbrio são valores y_* tais que \dfrac{dy}{dt}=0, ou seja, zeros de f(y).
f(y)=y(1-y)=0
Logo os equlíbrios são as soluções de y(1-y)=0, isto é,
y_*=0\quad\text{e}\quad y_*=1.
Passo 3
Classificar a estabilidade dos equilíbrios por linearização (explicando bem o método).
Método: para uma equação autônoma \dfrac{dy}{dt}=f(y), a estabilidade local de um equilíbrio y_* pode ser verificada calculando f'(y_*). Se f'(y_*)<0 o equilíbrio é linearmente estável (atrator); se f'(y_*)>0 é instável (repulsor). Intuição: a derivada diz se pequenas perturbações crescem ou decrescem.
Analisar o sinal de f(y)=y(1-y) em cada intervalo da reta real para montar a linha de fase (isto é o coração da análise qualitativa).
Para y<0: tem-se y<0 e 1-y>1>0, portanto y(1-y)<0. Conclusão: \dfrac{dy}{dt}<0 e as soluções decrescem (seta para a esquerda na linha de fase).
Para 0<y<1: tem-se y>0 e 1-y>0, logo y(1-y)>0. Conclusão: \dfrac{dy}{dt}>0 e as soluções crescem (seta para a direita).
Para y>1: tem-se y>0 e 1-y<0, logo y(1-y)<0. Conclusão: \dfrac{dy}{dt}<0 e as soluções decrescem (seta para a esquerda).
Interpretação: na linha de fase as setas apontam para fora de y=0 (repulsor) e para dentro de y=1 (atrator).
Passo 5
Consequências qualitativas para soluções y(t) dependendo da condição inicial y(0)=y_0:
Se y_0=0: solução constante y(t)\equiv0.
Se y_0=1: solução constante y(t)\equiv1.
Se 0<y_0<1: \dfrac{dy}{dt}>0 então y(t) aumenta monotonicamente e, por causa do equilíbrio atrator em 1, espera-se y(t)\to1 quando t\to+\infty.
Se y_0>1: \dfrac{dy}{dt}<0 então y(t) diminui monotonicamente e tende para 1 quando t\to+\infty.
Se y_0<0: \dfrac{dy}{dt}<0 então y(t) decresce (fica ainda mais negativo). É útil obter a solução explícita para entender se vai para -\infty em tempo finito ou não (faço isso no próximo passo).
Passo 6
Resolver explicitamente (separação de variáveis) para confirmar e refinar o comportamento.
Separe as variáveis:
\frac{dy}{y(1-y)}=dt.
Use frações parciais. Observação: \dfrac{1}{y(1-y)}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y} (verificação rápida: \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}=\dfrac{1-y+y}{y(1-y)}=\dfrac{1}{y(1-y)}).
Isto confirma que todas as soluções com y_0>0 evoluem para 1 quando t\to+\infty. Para 0<y_0<1 a solução sobe monotonicamente até 1; para y_0>1 ela desce monotonicamente até 1.
Caso y_0=0: a fórmula acima não é válida (divisão por zero em A), mas sabemos pela equação que y(t)\equiv0.
Caso y_0<0: então A=(1-y_0)/y_0 é negativo. Escrevendo a fórmula
y(t)=\frac{1}{1+A e^{-t}},
com A<0, o denominador 1+A e^{-t} pode anular-se para algum t=t^* tal que 1+A e^{-t^*}=0. Isso significa que y(t) tende a \pm\infty quando t se aproxima de t^*; na verdade, com A<0, a solução tende para -\infty quando o denominador tende a 0^-. O tempo t^* em que ocorre a singularidade é obtido por
Substituindo A=\dfrac{1-y_0}{y_0} obtemos, para y_0<0,
t^*=\ln\!\left(\frac{1-y_0}{-y_0}\right).
Conclusão para y_0<0: a solução decresce e atinge -\infty em tempo finito t^*=\ln\!\big(\dfrac{1-y_0}{-y_0}\big). Depois desse tempo a solução não é mais definida (explosão para -\infty em tempo finito).
Passo 8
Como esboçar as soluções (instruções práticas para prova):
Trace a linha de fase vertical com pontos marcados 0 e 1. Coloque setas:
à esquerda de 0 (isto é y<0) seta para baixo (decrescente);
entre 0 e 1 seta para cima (crescente);
à direita de 1 seta para baixo (decrescente).
Para curvas y(t) versus t:
escolher y_0\in(0,1): desenhe uma curva crescente, com inclinação positiva no início, que se aproxima assintoticamente de y=1 quando t\to+\infty (forma de S suave subindo).
escolher y_0>1: desenhe uma curva decrescente que tende assintoticamente para y=1.
escolher y_0=0 ou y_0=1: desenhe linhas horizontais em y=0 e y=1.
escolher y_0<0: desenhe uma curva que decresce e diverge para -\infty em um tempo finito t^* (indicar vertical assíntota em t=t^*).
Anote a estabilidade: 0 é repulsor; 1 é atrator.
Resposta
Pontos de equilíbrio: y_*=0 (instável) e y_*=1 (estável).
Solução geral (para y_0\neq0):