Exercício 1 - Usando analise qualitativa, esboce algumas das soluções das seguintes equações diferenciais
\frac{d y}{d t}=y-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede: "Usando análise qualitativa, esboce algumas das soluções da equação diferencial
\frac{dy}{dt}=y-y^{2}.
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Equação dada: \dfrac{dy}{dt}=y-y^{2}.
  • O objetivo: analisar qualitativamente as soluções (pontos de equilíbrio, estabilidade, sentido das soluções na linha de fase) e esboçar o comportamento das soluções para diferentes condições iniciais y(0)=y_0.
  • Informação disponível: a função do lado direito é f(y)=y-y^{2}=y(1-y). Não há mais dados numéricos; estudar o comportamento geral.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio (pontos críticos). Pontos de equilíbrio são valores y_* tais que \dfrac{dy}{dt}=0, ou seja, zeros de f(y).
f(y)=y(1-y)=0
Logo os equlíbrios são as soluções de y(1-y)=0, isto é,
y_*=0\quad\text{e}\quad y_*=1.

Passo 3

Classificar a estabilidade dos equilíbrios por linearização (explicando bem o método).
  • Método: para uma equação autônoma \dfrac{dy}{dt}=f(y), a estabilidade local de um equilíbrio y_* pode ser verificada calculando f'(y_*). Se f'(y_*)<0 o equilíbrio é linearmente estável (atrator); se f'(y_*)>0 é instável (repulsor). Intuição: a derivada diz se pequenas perturbações crescem ou decrescem.
  • Calcule f'(y):
f'(y)=\frac{d}{dy}\big(y-y^{2}\big)=1-2y.
  • Avaliando nos equilíbrios:
f'(0)=1-2\cdot0=1>0 \quad\Rightarrow\quad y_*=0\\ \text{é instável (repulsor).}éá
f'(1)=1-2\cdot1=-1<0 \quad\Rightarrow\quad y_*=1\\ \text{é estável (atrator).}éá

Passo 4

Analisar o sinal de f(y)=y(1-y) em cada intervalo da reta real para montar a linha de fase (isto é o coração da análise qualitativa).
  • Para y<0: tem-se y<0 e 1-y>1>0, portanto y(1-y)<0. Conclusão: \dfrac{dy}{dt}<0 e as soluções decrescem (seta para a esquerda na linha de fase).
  • Para 0<y<1: tem-se y>0 e 1-y>0, logo y(1-y)>0. Conclusão: \dfrac{dy}{dt}>0 e as soluções crescem (seta para a direita).
  • Para y>1: tem-se y>0 e 1-y<0, logo y(1-y)<0. Conclusão: \dfrac{dy}{dt}<0 e as soluções decrescem (seta para a esquerda).
Interpretação: na linha de fase as setas apontam para fora de y=0 (repulsor) e para dentro de y=1 (atrator).

Passo 5

Consequências qualitativas para soluções y(t) dependendo da condição inicial y(0)=y_0:
  • Se y_0=0: solução constante y(t)\equiv0.
  • Se y_0=1: solução constante y(t)\equiv1.
  • Se 0<y_0<1: \dfrac{dy}{dt}>0 então y(t) aumenta monotonicamente e, por causa do equilíbrio atrator em 1, espera-se y(t)\to1 quando t\to+\infty.
  • Se y_0>1: \dfrac{dy}{dt}<0 então y(t) diminui monotonicamente e tende para 1 quando t\to+\infty.
  • Se y_0<0: \dfrac{dy}{dt}<0 então y(t) decresce (fica ainda mais negativo). É útil obter a solução explícita para entender se vai para -\infty em tempo finito ou não (faço isso no próximo passo).

Passo 6

Resolver explicitamente (separação de variáveis) para confirmar e refinar o comportamento.
  • Separe as variáveis:
\frac{dy}{y(1-y)}=dt.
  • Use frações parciais. Observação: \dfrac{1}{y(1-y)}=\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y} (verificação rápida: \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{1-y}=\dfrac{1-y+y}{y(1-y)}=\dfrac{1}{y(1-y)}).
  • Integre ambos os lados:
\int\!\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)dy=\int dt.
  • As primitivas:
\ln|y|-\ln|1-y|=t+C,
onde C é constante de integração. Juntando os logaritmos,
\ln\!\left|\frac{y}{1-y}\right|=t+C.
  • Exponenciando e reorganizando, escrevemos a solução geral como
\frac{y}{1-y}=K e^{t}\quad\text{com}\quad K=\pm e^{C}.
Resolver para y:
y(t)=\frac{K e^{t}}{1+K e^{t}}=\frac{1}{1+\dfrac{1}{K}e^{-t}}.
  • Usando a condição inicial y(0)=y_0 determina-se K=\dfrac{y_0}{1-y_0}. Substituindo:
\boxed{\,y(t)=\frac{y_0 e^{t}}{1-y_0 + y_0 e^{t}}=\frac{1}{1+\dfrac{1-y_0}{y_0}e^{-t}}\,.}
(A forma mais comum é y(t)=\dfrac{1}{1+A e^{-t}} com A=\dfrac{1-y_0}{y_0}, quando y_0\neq0.)

Passo 7

Usar a solução explícita para descrever comportamentos assintóticos e tempo de “colisão” (se houver).
  • Caso y_0>0: aqui A=(1-y_0)/y_0 é finito. Como e^{-t}\to0 quando t\to+\infty, tem-se
y(t)\to\frac{1}{1+0}=1\quad\text{quando }t\to+\infty.
Isto confirma que todas as soluções com y_0>0 evoluem para 1 quando t\to+\infty. Para 0<y_0<1 a solução sobe monotonicamente até 1; para y_0>1 ela desce monotonicamente até 1.
  • Caso y_0=0: a fórmula acima não é válida (divisão por zero em A), mas sabemos pela equação que y(t)\equiv0.
  • Caso y_0<0: então A=(1-y_0)/y_0 é negativo. Escrevendo a fórmula
y(t)=\frac{1}{1+A e^{-t}},
com A<0, o denominador 1+A e^{-t} pode anular-se para algum t=t^* tal que 1+A e^{-t^*}=0. Isso significa que y(t) tende a \pm\infty quando t se aproxima de t^*; na verdade, com A<0, a solução tende para -\infty quando o denominador tende a 0^-. O tempo t^* em que ocorre a singularidade é obtido por
1+A e^{-t^*}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{-t^*}=-\frac{1}{A}.
Substituindo A=\dfrac{1-y_0}{y_0} obtemos, para y_0<0,
t^*=\ln\!\left(\frac{1-y_0}{-y_0}\right).
  • Conclusão para y_0<0: a solução decresce e atinge -\infty em tempo finito t^*=\ln\!\big(\dfrac{1-y_0}{-y_0}\big). Depois desse tempo a solução não é mais definida (explosão para -\infty em tempo finito).

Passo 8

Como esboçar as soluções (instruções práticas para prova):
  • Trace a linha de fase vertical com pontos marcados 0 e 1. Coloque setas:
    • à esquerda de 0 (isto é y<0) seta para baixo (decrescente);
    • entre 0 e 1 seta para cima (crescente);
    • à direita de 1 seta para baixo (decrescente).
  • Para curvas y(t) versus t:
    • escolher y_0\in(0,1): desenhe uma curva crescente, com inclinação positiva no início, que se aproxima assintoticamente de y=1 quando t\to+\infty (forma de S suave subindo).
    • escolher y_0>1: desenhe uma curva decrescente que tende assintoticamente para y=1.
    • escolher y_0=0 ou y_0=1: desenhe linhas horizontais em y=0 e y=1.
    • escolher y_0<0: desenhe uma curva que decresce e diverge para -\infty em um tempo finito t^* (indicar vertical assíntota em t=t^*).
  • Anote a estabilidade: 0 é repulsor; 1 é atrator.

Resposta

Pontos de equilíbrio: y_*=0 (instável) e y_*=1 (estável).
Solução geral (para y_0\neq0):
y(t)=\frac{y_0 e^{t}}{1-y_0 + y_0 e^{t}}=\frac{1}{1+\dfrac{1-y_0}{y_0}e^{-t}}.
Comportamento dependendo de y_0:
  • Se y_0=0: y(t)\equiv0.
  • Se 0<y_0<1: y(t) é crescente e y(t)\to1 quando t\to+\infty.
  • Se y_0>1: y(t) é decrescente e y(t)\to1 quando t\to+\infty.
  • Se y_0<0: y(t) decresce e explode para -\infty em tempo finito
t^*=\ln\!\left(\frac{1-y_0}{-y_0}\right).

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