Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
e
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das duas funções
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- As fórmulas das duas funções são exatamente as escritas acima.
- Não foi dado intervalo explícito para o esboço, então vou trabalhar num intervalo típico que mostra bem as oscilações, por exemplo
.
O que devo entregar: instruções e pontos suficientes para desenhar os dois gráficos no mesmo plano (marcando zeros, máximos, mínimos, períodos e pontos de interseção).
Passo 2
Primeiro simplifico cada função usando identidades trigonométricas simples (isso facilita desenhar).
- Regra de função ímpar:
. Aplicando em :
- Identidade de co-função e simetria do cosseno:
. Reescrevo a segunda função:
Portanto, para traçar fica mais fácil trabalhar com
Pequena aula rápida: receber a função numa forma
indica amplitude (coeficiente multiplicando o seno), período
e, se houver sinal negativo à frente, uma reflexão vertical.
Passo 3
Calculo amplitude e período das duas:
- Para
: - amplitude
(coeficiente multiplicador é ); - período
.
- amplitude
- Para
: - amplitude
(o sinal menos altera só a orientação vertical); - período
.
Interpretação prática:oscila duas vezes mais rápido que (duas ondas de cabem em um período de ). O sinal menos inverte picos para vales e vice-versa.
- amplitude
Passo 4
Encontro os zeros (onde a função vale zero), que são pontos-chave para o esboço.
- Zeros de
ocorrem quando , isto é,
- Zeros de
ocorrem quando , isto é,
Observação: os zeros de
aparecem com espaçamento
, enquanto os zeros de
aparecem com espaçamento
.
Passo 5
Encontro máximos e mínimos (valores e posições).
- Para
: - máximos valem
em
- mínimos valem
em
- máximos valem
- Para
: - primeiro veja onde
. em ; então nesses pontos (porque há sinal menos). -
em ; nesses pontos . - Resumindo:
- máximos
em
- mínimos
em
- máximos
- primeiro veja onde
Passo 6
Faço uma tabela com valores em pontos-chaves (no intervalo
) para orientar o desenho. Para cada
calculo
e
.
-
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: . -
: .
Esses pontos mostram claramente quefaz oscilações mais rápidas e está invertida em relação ao sem o menos.
Passo 7
Como esboçar (passo a passo prático no papel — descrevo como se estivesse ao seu lado):
- Desenhe eixos
e . Marque no eixo os pontos . Marque no eixo os valores . - Plote os zeros de ambas as funções:
- para
: zeros em (marque em ); - para
: zeros em (marque também os pontos em , etc.).
- para
- Plote máximos e mínimos conforme o passo 5.
- Ligue os pontos com curvas suaves (senoidais). Lembre-se:
-
sobe a partir de com derivada (tangente inclinada pra cima no ); -
tem derivada , então em temos (começa descendo mais íngreme do que ).
-
- Use a tabela do passo 6 para posicionar corretamente pontos intermediários (por exemplo em
onde uma função atinge e a outra ). - Ao final, terá duas curvas: uma de período maior (seno padrão) e outra mais oscilante (duas oscilações por cada oscilação da seno padrão), com
invertida verticalmente em relação a .
Passo 8
Pontos de interseção úteis (onde as duas curvas se cruzam), isso ajuda no esboço:
Resolver . Faço manipulação algébrica:
Resolver
Usando
,
Portanto as soluções são
ou
Ou seja, além dos zeros
, há interseções em
. Marque esses pontos na sua escala para confirmar os cruzamentos.
Passo 9
Resumo pedagógico e incentivo: visualmente espere duas ondas sobrepostas — a onda
mais “larga” (período
) e a onda
mais “apertada” (período
) e invertida. Use os zeros e máximos indicados para traçar com confiança. Vai dar certo — comece marcando os zeros, depois máximos/mínimos, conecte suavemente e confira os cruzamentos em
e
.