Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
f(x)=\operatorname{sen}(-2 x) e \cos \left(-x+\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das duas funções
f(x)=\operatorname{sen}(-2 x) e \cos\!\left(-x+\dfrac{\pi}{2}\right).
Informações dadas:
  • As fórmulas das duas funções são exatamente as escritas acima.
  • Não foi dado intervalo explícito para o esboço, então vou trabalhar num intervalo típico que mostra bem as oscilações, por exemplo [-2\pi,2\pi].
    O que devo entregar: instruções e pontos suficientes para desenhar os dois gráficos no mesmo plano (marcando zeros, máximos, mínimos, períodos e pontos de interseção).

Passo 2

Primeiro simplifico cada função usando identidades trigonométricas simples (isso facilita desenhar).
  • Regra de função ímpar: \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta). Aplicando em f:
f(x)=\operatorname{sen}(-2x)=-\operatorname{sen}(2x).
  • Identidade de co-função e simetria do cosseno: \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\operatorname{sen}(\theta). Reescrevo a segunda função:
\cos\!\left(-x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{sen}(x).
Portanto, para traçar fica mais fácil trabalhar com
f(x)=-\operatorname{sen}(2x),\qquad g(x)=\operatorname{sen}(x).
Pequena aula rápida: receber a função numa forma \operatorname{sen}(b x) indica amplitude (coeficiente multiplicando o seno), período T=\dfrac{2\pi}{|b|} e, se houver sinal negativo à frente, uma reflexão vertical.

Passo 3

Calculo amplitude e período das duas:
  • Para g(x)=\operatorname{sen}(x):
    • amplitude =1 (coeficiente multiplicador é 1);
    • período T_g=\dfrac{2\pi}{1}=2\pi.
  • Para f(x)=-\operatorname{sen}(2x):
    • amplitude =1 (o sinal menos altera só a orientação vertical);
    • período T_f=\dfrac{2\pi}{2}=\pi.
      Interpretação prática: f oscila duas vezes mais rápido que g (duas ondas de f cabem em um período de g). O sinal menos inverte picos para vales e vice-versa.

Passo 4

Encontro os zeros (onde a função vale zero), que são pontos-chave para o esboço.
  • Zeros de g(x)=\operatorname{sen}(x) ocorrem quando \operatorname{sen}(x)=0, isto é,
x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Zeros de f(x)=-\operatorname{sen}(2x) ocorrem quando \operatorname{sen}(2x)=0, isto é,
2x=k\pi\\ \Rightarrow\\ x=\dfrac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Observação: os zeros de f aparecem com espaçamento \dfrac{\pi}{2}, enquanto os zeros de g aparecem com espaçamento \pi.

Passo 5

Encontro máximos e mínimos (valores e posições).
  • Para g(x)=\operatorname{sen}(x):
    • máximos valem +1 em
    x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z};
    • mínimos valem -1 em
    x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \quad(\text{ou } \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi),\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Para f(x)=-\operatorname{sen}(2x):
    • primeiro veja onde \operatorname{sen}(2x)=\pm1. \operatorname{sen}(2x)=1 em 2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi; então f=-1 nesses pontos (porque há sinal menos).
    • \operatorname{sen}(2x)=-1 em 2x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi; nesses pontos f=+1.
    • Resumindo:
      • máximos f(x)=+1 em
      x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z};
      • mínimos f(x)=-1 em
      x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Faço uma tabela com valores em pontos-chaves (no intervalo [- \pi,\pi]) para orientar o desenho. Para cada x calculo g(x)=\operatorname{sen}(x) e f(x)=-\operatorname{sen}(2x).
  • x=-\pi: \operatorname{sen}(-\pi)=0,\quad -\operatorname{sen}(-2\pi)=0.
  • x=-\dfrac{\pi}{2}: \operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{2})=-1,\quad -\operatorname{sen}(-\pi)=0.
  • x=-\dfrac{\pi}{4}: \operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad -\operatorname{sen}(-\tfrac{\pi}{2})=+1.
  • x=0: \operatorname{sen}(0)=0,\quad -\operatorname{sen}(0)=0.
  • x=\dfrac{\pi}{4}: \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad -\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=-1.
  • x=\dfrac{\pi}{2}: \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1,\quad -\operatorname{sen}(\pi)=0.
  • x=\pi: \operatorname{sen}(\pi)=0,\quad -\operatorname{sen}(2\pi)=0.
    Esses pontos mostram claramente que f faz oscilações mais rápidas e está invertida em relação ao \operatorname{sen}(2x) sem o menos.

Passo 7

Como esboçar (passo a passo prático no papel — descrevo como se estivesse ao seu lado):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque no eixo x os pontos -2\pi,-\tfrac{3\pi}{2},- \pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi. Marque no eixo y os valores -1,0,1.
  2. Plote os zeros de ambas as funções:
    • para g: zeros em x=k\pi (marque em -2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi);
    • para f: zeros em x=\tfrac{k\pi}{2} (marque também os pontos em -\tfrac{3\pi}{2},-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}, etc.).
  3. Plote máximos e mínimos conforme o passo 5.
  4. Ligue os pontos com curvas suaves (senoidais). Lembre-se:
    • g(x)=\operatorname{sen}(x) sobe a partir de 0 com derivada g'(0)=\cos(0)=1 (tangente inclinada pra cima no x=0);
    • f(x)=-\operatorname{sen}(2x) tem derivada f'(x)=-2\cos(2x), então em x=0 temos f'(0)=-2 (começa descendo mais íngreme do que g).
  5. Use a tabela do passo 6 para posicionar corretamente pontos intermediários (por exemplo em \pm \tfrac{\pi}{4} onde uma função atinge \pm1 e a outra \pm \tfrac{\sqrt{2}}{2}).
  6. Ao final, terá duas curvas: uma de período maior (seno padrão) e outra mais oscilante (duas oscilações por cada oscilação da seno padrão), com f invertida verticalmente em relação a \operatorname{sen}(2x).

Passo 8

Pontos de interseção úteis (onde as duas curvas se cruzam), isso ajuda no esboço:
Resolver \operatorname{sen}(x)=-\operatorname{sen}(2x). Faço manipulação algébrica:
\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(2x)=0.
Usando \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x),
\operatorname{sen}(x)\bigl(1+2\cos(x)\bigr)=0.
Portanto as soluções são
\operatorname{sen}(x)=0\Rightarrow x=k\pi,
ou
1+2\cos(x)=0\Rightarrow \cos(x)=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi.
Ou seja, além dos zeros x=k\pi, há interseções em x=\pm \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi. Marque esses pontos na sua escala para confirmar os cruzamentos.

Passo 9

Resumo pedagógico e incentivo: visualmente espere duas ondas sobrepostas — a onda g(x)=\operatorname{sen}(x) mais “larga” (período 2\pi) e a onda f(x)=-\operatorname{sen}(2x) mais “apertada” (período \pi) e invertida. Use os zeros e máximos indicados para traçar com confiança. Vai dar certo — comece marcando os zeros, depois máximos/mínimos, conecte suavemente e confira os cruzamentos em x=k\pi e x=\pm \tfrac{2\pi}{3}+2k\pi.

Resposta

f(x)=\operatorname{sen}(-2x)=-\operatorname{sen}(2x);; amplitude 1, período \pi, zeros em x=\dfrac{k\pi}{2}, máximos em x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi (valor +1), mínimos em x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi (valor -1).\n
\cos\!\left(-x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\operatorname{sen}(x);; amplitude 1, período 2\pi, zeros em x=k\pi, máximos em x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi (valor +1), mínimos em x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi (valor -1).

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