Exercício 8. Sem o auxílio de calculadora ou computador, determine:
\cos \left(\frac{11 \pi}{4}\right) \mathrm{e} \operatorname{sen}\left(\frac{11 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da expressão \cos\!\left(\frac{11\pi}{4}\right)\,\mathrm{e}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{11\pi}{4}\right).
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão envolve o cosseno e o seno do ângulo \frac{11\pi}{4}.
  • O símbolo \mathrm{e} é a constante de Euler (uma constante multiplicativa aqui).
  • É necessário simplificar sem calculadora, usando propriedades trigonométricas e valores conhecidos no círculo trigonométrico.

Passo 2

Reduzir o ângulo usando a periodicidade das funções trigonométricas. Lembra que tanto o cosseno quanto o seno têm período 2\pi, isto é,
\cos(\theta+2\pi)=\cos(\theta),\qquad \operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}(\theta).
Agora escrevemos \frac{11\pi}{4} como soma de um múltiplo inteiro de 2\pi e um resto:
\frac{11\pi}{4}=2\pi+\frac{3\pi}{4}.
Logo
\cos\!\left(\frac{11\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right),\qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{11\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right).

Passo 3

Determinar os sinais e valores de \cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) e \operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right).
  • O ângulo \frac{3\pi}{4} está no segundo quadrante (entre \frac{\pi}{2} e \pi). No segundo quadrante o seno é positivo e o cosseno é negativo.
  • O ângulo de referência para \frac{3\pi}{4} é \pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.
  • Conhecimento padrão do círculo trigonométrico: para \frac{\pi}{4}
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto, aplicando o sinal do segundo quadrante,
\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular o produto \cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) passo a passo:
\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{4}\right) =\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{4}.
Como \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, obtemos
\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Multiplicar o resultado anterior pela constante \mathrm{e}:
\cos\!\left(\frac{11\pi}{4}\right)\,\mathrm{e}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{11\pi}{4}\right) =\mathrm{e}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\mathrm{e}}{2}.
Vai ficar lindo na prova: reduziu o ângulo pela periodicidade, usou o ângulo de referência \frac{\pi}{4} e os sinais por quadrante — é um procedimento padrão e rápido quando praticado.

Resposta

-\dfrac{\mathrm{e}}{2}

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