Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
f(x)=\operatorname{sen}(2 x) e g(x)=\operatorname{sen}(4 x)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar no mesmo plano cartesiano as duas funções dadas. As informações explícitas são:
  • A função f é f(x)=\operatorname{sen}(2x).
  • A função g é g(x)=\operatorname{sen}(4x).
    O que se quer é um desenho (esboço) que represente ambas as curvas no mesmo sistema de eixos x- y.

Passo 2

Entendendo as propriedades básicas da função seno que vamos usar (aqui é uma mini-aula):
  • A função básica \operatorname{sen}(x) tem amplitude 1, ou seja seus valores variam entre -1 e 1.
  • O período da função \operatorname{sen}(kx) (onde k é constante positiva) é dado por
T=\frac{2\pi}{k}.
Explicando: o argumento kx precisa variar de 0 até 2\pi para uma oscilação completa; se kx muda de 0 a 2\pi quando x muda de 0 a 2\pi/k, então T=2\pi/k.
  • A frequência (número de ciclos por unidade de comprimento no eixo x) é 1/T. Quando k aumenta, a curva “aperta” horizontalmente e oscila mais rápido.
  • Zeros, máximos e mínimos ocorrem em posições padrão para \operatorname{sen}(kx):
    • Zeros: quando kx=n\pi\Rightarrow x=\dfrac{n\pi}{k} para n\in\mathbb{Z}.
    • Máximos ( +1): quando kx=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2k}+ \dfrac{2n\pi}{k}.
    • Mínimos ( -1): quando kx=\dfrac{3\pi}{2}+2n\pi\Rightarrow x=\dfrac{3\pi}{2k}+ \dfrac{2n\pi}{k}.
      Vou usar essas fórmulas para localizar pontos-chave para cada função.

Passo 3

Calcular amplitude e período para cada função:
  • Para f(x)=\operatorname{sen}(2x):
    • Amplitude: 1 (sempre |1|).
    • Período:
    T_f=\frac{2\pi}{2}=\pi.
  • Para g(x)=\operatorname{sen}(4x):
    • Amplitude: 1.
    • Período:
    T_g=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Comentário amigável: isso já nos diz que g oscila mais rápido — na mesma distância horizontal g completa o dobro de ciclos de f (porque T_g=\tfrac{1}{2}T_f).

Passo 4

Encontrar zeros, máximos e mínimos de f usando as fórmulas (vou listar alguns pontos dentro do intervalo [0,\pi], que é um período de f, suficiente para esboçar):
  • Zeros de f: x=\dfrac{n\pi}{2}. Tomando n=0,1,2:
    • x=0\Rightarrow f(0)=0.
    • x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
    • x=\pi\Rightarrow f(\pi)=0.
  • Máximo ( +1) de f: x=\dfrac{\pi}{4}+n\pi. No primeiro período, x=\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
  • Mínimo ( -1) de f: x=\dfrac{3\pi}{4}+n\pi. No primeiro período, x=\dfrac{3\pi}{4}\Rightarrow f\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-1.
    Vou também calcular alguns valores intermediários úteis:
  • x=\dfrac{\pi}{8}\Rightarrow f\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\operatorname{sen}\!\left(2\cdot\dfrac{\pi}{8}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707.
  • x=\dfrac{3\pi}{8}\Rightarrow f\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707.

Passo 5

Fazer o mesmo para g (visto que o período é menor, liste pontos dentro de [0,\pi] para ver várias oscilações):
  • Zeros de g: x=\dfrac{n\pi}{4}. Tomando alguns n:
    • x=0\Rightarrow g(0)=0.
    • x=\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow g\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0.
    • x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.
    • x=\pi\Rightarrow g(\pi)=0.
  • Máximos ( +1) de g: x=\dfrac{\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2}. Assim nos primeiros pontos:
    • x=\dfrac{\pi}{8}\Rightarrow g\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1.
    • x=\dfrac{5\pi}{8}\Rightarrow g\!\left(\dfrac{5\pi}{8}\right)=1 (próximo máximo dentro de [0,\pi]).
  • Mínimos ( -1) de g: x=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2}. Assim:
    • x=\dfrac{3\pi}{8}\Rightarrow g\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=-1.
    • x=\dfrac{7\pi}{8}\Rightarrow g\!\left(\dfrac{7\pi}{8}\right)=-1.
      Também valores intermediários:
  • x=\dfrac{\pi}{16}\Rightarrow g\!\left(\dfrac{\pi}{16}\right)=\operatorname{sen}\!\left(4\cdot\dfrac{\pi}{16}\right)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707.

Passo 6

Escolher a janela e esboçar mentalmente os pontos: sugiro pegar o intervalo horizontal [- \pi, \pi] ou [0,\pi] para o esboço; eu usarei [0,\pi] porque mostra claramente uma oscilação de f e duas oscilações de g. Passos práticos para desenhar:
  1. Desenhe os eixos x e y; marque horizontalmente 0,\\ \dfrac{\pi}{8},\\ \dfrac{\pi}{4},\\ \dfrac{3\pi}{8},\\ \dfrac{\pi}{2},\\ \dfrac{3\pi}{4},\\ \pi.
  2. Marque no eixo vertical os valores y=1 e y=-1.
  3. Para f:
    • Coloque pontos em \left(0,0\right), \left(\dfrac{\pi}{4},1\right), \left(\dfrac{\pi}{2},0\right), \left(\dfrac{3\pi}{4},-1\right), \left(\pi,0\right).
    • Ligue esses pontos com uma curva suave (senoidal), lembrando que entre zeros a curva sobe ou desce suavemente sem arestas.
  4. Para g:
    • Coloque pontos em \left(0,0\right), \left(\dfrac{\pi}{8},1\right), \left(\dfrac{\pi}{4},0\right), \left(\dfrac{3\pi}{8},-1\right), \left(\dfrac{\pi}{2},0\right), \left(\dfrac{5\pi}{8},1\right), \left(\dfrac{3\pi}{4},0\right), \left(\dfrac{7\pi}{8},-1\right), \left(\pi,0\right).
    • Ligue esses pontos com uma curva suave senoidal também. Note que entre \,0 e \pi haverá exatamente duas cristas positivas e duas vales negativos (duas oscilações completas).
  5. Use cores diferentes ou traços diferentes para distinguir f e g. Por exemplo, f com linha contínua grossa e g com linha tracejada fina.

Passo 7

Observações úteis para o esboço (dicas que ajudam no desenho rápido em prova):
  • Ambas têm mesma amplitude e passam por (0,0).
  • Em cada zero comum (por exemplo x=0,\\ \dfrac{\pi}{2},\\ \pi) as duas funções são simultaneamente zero? Verifique: f tem zeros em x=n\dfrac{\pi}{2}. g tem zeros em x=n\dfrac{\pi}{4}. Então em x=0,\\ \dfrac{\pi}{2},\\ \pi ambos zera (pontos de interseção). Entre esses pontos g executa mais oscilações.
  • A forma da curva é a mesma (seno), só que comprimida horizontalmente para g.

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos (para checar no papel):
  • f\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, g\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=1.
  • f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1, g\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0.
  • f\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, g\!\left(\dfrac{3\pi}{8}\right)=-1.
    Esses valores ajudam a posicionar precisamente onde cada curva está alta, baixa ou cruzando o eixo.

Passo 9

Como verificar rapidamente se o esboço está correto:
  • Confirme que em um intervalo de comprimento \pi a curva de f faz uma oscilação completa (zero → máximo → zero → mínimo → zero).
  • Confirme que em um intervalo de comprimento \pi a curva de g faz duas oscilações completas.
  • Verifique alguns pontos que calculei (por exemplo \dfrac{\pi}{8},\\ \dfrac{\pi}{4},\\ \dfrac{3\pi}{8}) para ver se as alturas batem.

Resposta

Gráfico de f(x)=\operatorname{sen}(2x): amplitude 1, período T_f=\pi; zeros em x=\dfrac{n\pi}{2}, máximos em x=\dfrac{\pi}{4}+n\pi com valor 1 e mínimos em x=\dfrac{3\pi}{4}+n\pi com valor -1.
Gráfico de g(x)=\operatorname{sen}(4x): amplitude 1, período T_g=\dfrac{\pi}{2}; zeros em x=\dfrac{n\pi}{4}, máximos em x=\dfrac{\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2} com valor 1 e mínimos em x=\dfrac{3\pi}{8}+n\cdot\dfrac{\pi}{2} com valor -1.

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