Exercício 7. Esboce os gráficos dos seguintes pares de função em um mesmo plano cartesiano.
e
Passo 1
O enunciado pede: esboçar no mesmo plano cartesiano as duas funções dadas. As informações explícitas são:
- A função
é . - A função
é .
O que se quer é um desenho (esboço) que represente ambas as curvas no mesmo sistema de eixos- .
Passo 2
Entendendo as propriedades básicas da função seno que vamos usar (aqui é uma mini-aula):
- A função básica
tem amplitude , ou seja seus valores variam entre e . - O período da função
(onde é constante positiva) é dado por
Explicando: o argumento
precisa variar de
até
para uma oscilação completa; se
muda de
a
quando
muda de
a
, então
.
- A frequência (número de ciclos por unidade de comprimento no eixo
) é . Quando aumenta, a curva “aperta” horizontalmente e oscila mais rápido. - Zeros, máximos e mínimos ocorrem em posições padrão para
: - Zeros: quando
para . - Máximos (
): quando . - Mínimos (
): quando .
Vou usar essas fórmulas para localizar pontos-chave para cada função.
- Zeros: quando
Passo 3
Calcular amplitude e período para cada função:
- Para
: - Amplitude:
(sempre ). - Período:
- Amplitude:
- Para
: - Amplitude:
. - Período:
- Amplitude:
Comentário amigável: isso já nos diz que
oscila mais rápido — na mesma distância horizontal
completa o dobro de ciclos de
(porque
).
Passo 4
Encontrar zeros, máximos e mínimos de
usando as fórmulas (vou listar alguns pontos dentro do intervalo
, que é um período de
, suficiente para esboçar):
- Zeros de
: . Tomando : -
. -
. -
.
-
- Máximo (
) de : . No primeiro período, . - Mínimo (
) de : . No primeiro período, .
Vou também calcular alguns valores intermediários úteis: -
. -
.
Passo 5
Fazer o mesmo para
(visto que o período é menor, liste pontos dentro de
para ver várias oscilações):
- Zeros de
: . Tomando alguns : -
. -
. -
. -
.
-
- Máximos (
) de : . Assim nos primeiros pontos: -
. -
(próximo máximo dentro de ).
-
- Mínimos (
) de : . Assim: -
. -
.
Também valores intermediários:
-
-
.
Passo 6
Escolher a janela e esboçar mentalmente os pontos: sugiro pegar o intervalo horizontal
ou
para o esboço; eu usarei
porque mostra claramente uma oscilação de
e duas oscilações de
. Passos práticos para desenhar:
- Desenhe os eixos
e ; marque horizontalmente . - Marque no eixo vertical os valores
e . - Para
: - Coloque pontos em
, , , , . - Ligue esses pontos com uma curva suave (senoidal), lembrando que entre zeros a curva sobe ou desce suavemente sem arestas.
- Coloque pontos em
- Para
: - Coloque pontos em
, , , , , , , , . - Ligue esses pontos com uma curva suave senoidal também. Note que entre
e haverá exatamente duas cristas positivas e duas vales negativos (duas oscilações completas).
- Coloque pontos em
- Use cores diferentes ou traços diferentes para distinguir
e . Por exemplo, com linha contínua grossa e com linha tracejada fina.
Passo 7
Observações úteis para o esboço (dicas que ajudam no desenho rápido em prova):
- Ambas têm mesma amplitude e passam por
. - Em cada zero comum (por exemplo
) as duas funções são simultaneamente zero? Verifique: tem zeros em . tem zeros em . Então em ambos zera (pontos de interseção). Entre esses pontos executa mais oscilações. - A forma da curva é a mesma (seno), só que comprimida horizontalmente para
.
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos (para checar no papel):
-
, . -
, . -
, .
Esses valores ajudam a posicionar precisamente onde cada curva está alta, baixa ou cruzando o eixo.
Passo 9
Como verificar rapidamente se o esboço está correto:
- Confirme que em um intervalo de comprimento
a curva de faz uma oscilação completa (zero → máximo → zero → mínimo → zero). - Confirme que em um intervalo de comprimento
a curva de faz duas oscilações completas. - Verifique alguns pontos que calculei (por exemplo
) para ver se as alturas batem.
Resposta
Gráfico de
: amplitude
, período
; zeros em
, máximos em
com valor
e mínimos em
com valor
.
Gráfico de
: amplitude
, período
; zeros em
, máximos em
com valor
e mínimos em
com valor
.