Exercício 2. Esboce a imagem:
F(t)=(t, t, t^2), t >= 0.

Passo 1

O enunciado pede o esboço da imagem da curva paramétrica
Fcolon [0,infty)toR^3, F(t)=(t,t,t^2)
O conteúdo é representação geométrica de curvas em R^3. Vamos encontrar a relação entre x,y,z e depois descrever como desenhar esse lugar geométrico.

Passo 2

Da definição temos
x(t)=t, y(t)=tLongrightarrow x=y
e
z(t)=t^2
Como t=x, segue que
z=x^2
Portanto
Im(F)=(x,y,z)inR^3mid y=x,;z=x^2,;x>=0

Passo 3

Geometricamente é um ramo de parábola no plano y=x.
  • A projeção no plano xy é a semirreta (x,x,0)mid x>=0.
  • A projeção no plano xz é a parábola padrão (x,0,x^2)mid x>=0.
    Combinando, no plano inclinado y=x a curva abre para cima no eixo z.

Passo 4

Para esboçar em 3D:
1. Desenhe os eixos x, y e z.
2. Marque no piso a linha x=y ( 45circ entre x e y), apenas para x>=0.
3. Sobre essa linha, trace uma parábola que parte de (0,0,0) e sobe conforme z=x^2.
Quanto maior t, mais alto e afastado no sentido da semirreta x=y a curva ficará.

Resposta

A imagem de F é o ramo de parábola
Im(F)=(x,x,x^2)mid x>=0,
contido no plano y=x em R^3 e que abre no sentido positivo de z.

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