Verifique se as funções são soluções das respectivas EDO’s e determine o wronskiano:
y^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=0 e^t, e^-t, e^-2 t

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO
y^primeprimeprime + 2,y^primeprime - y^prime - 2,y = 0
e as funções
y1(t)=e^t, y2(t)=e^-t, y3(t)=e^-2t.
O que vamos fazer: (i) verificar que cada yi satisfaz a EDO; (ii) calcular o wronskiano
W(y1,y2,y3)(t).

Passo 2

Para cada yi calculamos yi', yi'', yi''' e substituímos na equação.
  1. Para y1=e^t:
y1' = e^t, y1''=e^t, y1'''=e^t
Substituindo:
y1'''+2y1''-y1'-2y1 = e^t + 2e^t - e^t - 2e^t = 0
Logo y1 é solução.
  1. Para y2=e^-t:
y2' = -e^-t, y2''=e^-t, y2'''=-e^-t
Substituindo:
(-e^-t) + 2(e^-t) - (-e^-t) - 2(e^-t) = -e^-t+2e^-t+e^-t-2e^-t=0
Logo y2 é solução.
  1. Para y3=e^-2t:
y3' = -2e^-2t, y3''=4e^-2t, y3'''=-8e^-2t
Substituindo:
(-8e^-2t) + 2(4e^-2t) - (-2e^-2t) - 2(e^-2t) = -8e^-2t+8e^-2t+2e^-2t-2e^-2t=0
Logo y3 também é solução.

Passo 3

O wronskiano de y1,y2,y3 é
W(t) = y1 & y2 & y3 [6pt] y1' & y2' & y3' [6pt] y1'' & y2'' & y3'' = e^t & e^-t & e^-2t [4pt] e^t & -e^-t & -2e^-2t [4pt] e^t & e^-t & 4e^-2t ]

Passo 4

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
W(t) = e^tl((-e^-t)(4e^-2t)-(-2e^-2t)(e^-t)r) - e^-tl(e^tcdot4e^-2t-(-2e^-2t)cdot e^tr) + e^-2tl(e^tcdot e^-t-(-e^-t)cdot e^tr)
Simplificando cada termo:
e^t(-4e^-3t+2e^-3t) = -2e^-2t, - e^-t(4e^-t+2e^-t) = -6e^-2t, e^-2t(1+1)=2e^-2t
Somando,
W(t) = -2e^-2t -6e^-2t +2e^-2t = -6e^-2t

Resposta

As funções e^t, e^-t e e^-2t são soluções da EDO dada, e o wronskiano é
W(y1,y2,y3)(t) = -6,e^-2t

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