Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços abaixo.
A=(x, y, z) in R^3 ; y=3 x

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do subespaço
A = (x,y,z)inR^3 mid y = 3x.
Este é um subespaço de R^3 definido por uma equação linear homogênea em x,y,z. Vamos resolver essa equação para encontrar uma parametrização, extrair um conjunto gerador, verificar independência linear e obter a base e a dimensão.

Passo 2

Da condição y=3x, qualquer vetor em A tem a forma
(x,y,z) = (x,3x,z)
Introduzimos parâmetros livres s e t definindo s = x e t = z. Assim
(x,3x,z) = (s,3s,t) = s,(1,3,0);+;t,(0,0,1)

Passo 3

Vimos que
A = span(1,3,0),,(0,0,1)
Os vetores (1,3,0) e (0,0,1) não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes. Eles geram todo A, portanto formam uma base de A. O número de vetores na base é a dimensão de A.

Resposta

Base de A: (1,3,0),,(0,0,1)
Dimensão de A: 2

Exercícios relacionados