Sabendo que y_{1}(x)=e^{-2 x} é uma solução da EDO
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0
aplique o método da redução de ordem para determinar uma segunda solução y_{2}(x). Verifique se y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma solução conhecida, e pede duas coisas claras:
Informações dadas:y'' + 4y' + 4y = 0e é fornecido que \,y_{1}(x)=e^{-2x} é uma solução dessa equação.
Perguntas que precisamos responder:
Usando o método da redução de ordem, determinar uma segunda solução \,y_{2}(x).
Verificar se \,y_{1} e \,y_{2} são linearmente independentes.
Passo 2
Ideia do método da redução de ordem (explicação didática): queremos uma segunda solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função incógnita. A razão desse artifício é que, substituindo \,y_{2}=v y_{1} na EDO e usando que y_{1} já satisfaz a EDO, conseguimos reduzir a ordem da equação para uma equação de primeira ordem para v'. Vou fazer isso passo a passo e explicar o que cada símbolo significa:
v(x) é uma função que vamos determinar.
Definimos também u(x)=v'(x) para simplificar a escrita (isso transforma uma equação de segunda ordem em uma de primeira ordem para u).
Passo 3
Calcule as derivadas de y_{2} em termos de v, u=v' e de y_{1}:
Agrupando termos com v e com u notamos que v multiplica exatamente a combinação y_{1}''+4y_{1}'+4y_{1}, que é zero porque y_{1} é solução conhecida. Assim resta apenas os termos com u:
u'\,y_{1}+2u\,y_{1}'+4u\,y_{1}=0.
Fatorando u e dividindo por y_{1} (que nunca é zero, pois y_{1}=e^{-2x}\neq 0 para todo x), obtemos a equação de primeira ordem para u:
u' + u\left(2\frac{y_{1}'}{y_{1}}+4\right)=0.
Aqui \frac{y_{1}'}{y_{1}} é a derivada do logaritmo de y_{1}, ou seja \frac{d}{dx}\ln(y_{1}).
Agora formamos y_{2}=v\,y_{1}=(Cx+D)\,y_{1}. Termo com D\,y_{1} é apenas múltiplo da solução já conhecida y_{1}, então não traz independência nova. Para obter uma segunda solução linearmente independente de y_{1} escolhemos C=1 e D=0, o que dá a solução simples e canônica
y_{2}(x)=x\,e^{-2x}.
(Escolhemos essa forma porque multiplicar por uma constante global não altera independência; escolher Cx com C\neq 0 produziria a mesma solução até escala.)
Passo 7
Verificação de independência linear pelo Wronskiano (explicação e cálculo): o Wronskiano de duas funções y_{1} e y_{2} é