Exercício 2: Esboce a região de integração e calcule as integrais:
integral duplaD x y^3 d x d y, D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2,0 <= y <= 2 x;

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D = (x,y)inR^2 mid 1 <= x <= 2,;0 <= y <= 2x
e calcular a integral dupla
integral duplaD x,y^3,dx,dy
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em coordenadas retangulares, usando o método de integração iterada.

Passo 2

Para entender D, note que x varia de 1 a 2 e, para cada x, y varia de 0 até a reta y=2x.
Esboço mental da região: é a “faixa” vertical entre as linhas x=1 e x=2, limitada abaixo por y=0 e acima por y=2x.
Logo podemos escrever
integral duplaD x,y^3,dx,dy =integralx=1^2l[integraly=0^2xx,y^3,dyr]dx

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
integraly=0^2xx,y^3,dy = xintegral0^2xy^3,dy = x[y^44]0^2x = xcdot(2x)^44 = xcdot16x^44 =4x^5

Passo 4

Agora integramos em x:
integral1^24x^5,dx =4[x^66]1^2 =46l(2^6-1^6r) =23(64-1) =23cdot63 =42

Resposta

O valor da integral é 42.

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