Exercício 3 )

Mostre que a função f(x, y)=x é contínua para todo (x0, y0) in R^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
fcolon R^2 to R, f(x,y)=x
é contínua em todo ponto (x0,y0)inR^2. Vamos usar a definição varepsilon!– de<a de continuidade em espaços métricos.

Passo 2

Pela definição, f é contínua em (x0,y0) se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que
raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 < de<a,
então
l|f(x,y)-f(x0,y0)r| < varepsilon

Passo 3

Calculemos a diferença de valores de f:
l|f(x,y)-f(x0,y0)r| = l|,x - x0r|

Passo 4

Observe que
l|x - x0r| <= raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2
Logo, se escolhemos de<a = varepsilon, então
raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 < de<a Longrightarrow l|x - x0r| < varepsilon,
ou seja,
l|f(x,y)-f(x0,y0)r|<varepsilon

Passo 5

Como conseguimos, para cada varepsilon>0, um de<a=varepsilon que satisfaz a condição, f é contínua em (x0,y0). Por arbitrariedade de (x0,y0), f é contínua em todo R^2.

Resposta

A função f(x,y)=x é contínua para todo (x0,y0)inR^2.

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