Exercício 3 ) Mostre que a função f(x, y)=x é contínua para todo (x0, y0) in R^2 Passo 1O enunciado pede para mostrar que a função fcolon R^2 to R, f(x,y)=x é contínua em todo ponto (x0,y0)inR^2. Vamos usar a definição varepsilon!– de<a de continuidade em espaços métricos. Passo 2Pela definição, f é contínua em (x0,y0) se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 < de<a, então l|f(x,y)-f(x0,y0)r| < varepsilon Passo 3Calculemos a diferença de valores de f: l|f(x,y)-f(x0,y0)r| = l|,x - x0r| Passo 4Observe que l|x - x0r| <= raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 Logo, se escolhemos de<a = varepsilon, então raiz(x - x0)^2 + (y - y0)^2 < de<a Longrightarrow l|x - x0r| < varepsilon, ou seja, l|f(x,y)-f(x0,y0)r|<varepsilon Passo 5Como conseguimos, para cada varepsilon>0, um de<a=varepsilon que satisfaz a condição, f é contínua em (x0,y0). Por arbitrariedade de (x0,y0), f é contínua em todo R^2. RespostaA função f(x,y)=x é contínua para todo (x0,y0)inR^2. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNos problemas a seguir, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. y^prime prime+y=cos x-sen 2 x, y(pi2)=0, y^prime(pi2)=2 Calcule os limites (caso existam) lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2 Exercício 2: Esboce a região de integração e calcule as integrais: integral duplaD x y^3 d x d y, D=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2,0 <= y <= 2 x;