Exercício 2: Esboce a região de integração e calcule as integrais:
integral duplaD f(x, y) d x d y, D=(x, y) in R^2 ;|x| <= pi / 2,0 <= y <= cos x, f(x, y)=y sen x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=(x,y)inR^2:|x|<=pi/2,;0<= y<=cos x
e calcular a integral dupla
integral duplaDf(x,y),dx,dy
com f(x,y)=ysin x.
O conteúdo aqui é integração dupla via integral iterada e observação de simetria.

Passo 2

A região D fica para -pi/2<= x<=pi/2 sob a curva y=cos x e acima de y=0.
Como cos x>=0 nesse intervalo, é um “chapéu” sobre o eixo x.

Passo 3

Escrevendo a integral em forma iterada:
integral duplaDysin x,dx,dy =integralx=-pi/2^pi/2!l(integraly=0^cos xysin x,dyr)dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integral0^cos xysin x,dy =sin xintegral0^cos xy,dy =sin xl[tfrac12y^2r]0^cos x =tfrac12cos^2x;sin x

Passo 5

Agora
integral-pi/2^pi/2tfrac12cos^2x;sin x,dx
Note que cos^2x é função par e sin x é função ímpar, então o produto é ímpar. Integrando em limites simétricos, dá zero.

Resposta

0

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