Questão 4. Considere a função
Se denotarmos por
a série de Fourier
-periódica que converge para
num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
Passo 1
Enunciado resume: temos a função real
a
a
queremos achar o valor de
, onde
é a série de Fourier 2
-periódica que coincide com
num intervalo aberto em torno de 0. Vamos usar o teorema de convergência em pontos de descontinuidade.
Passo 2
Como
é a extensão periódica de
, em
há uma descontinuidade (pois o valor da função é diferente dos dois lados). Pelo teorema de Fourier, nesse ponto
Aqui, “
” indica o limite pela direita e “
” o limite pela esquerda na extensão periódica.
Passo 3
Para achar esses limites, note que na extensão periódica temos
e
pois e
são o mesmo ponto módulo
.
e
pois
Passo 4
Calculamos:
e
Passo 5
Agora aplicamos a média dos limites:
Resposta
3