Questão 4. Considere a função
l f: R R, x mapsto f(x), onde f(x)=1+xpi+x^2pi^2+x^3pi^3+x^4pi^4+x^5pi^5
Se denotarmos por
Sf: R R, x mapsto Sf(x)
a série de Fourier 2 pi-periódica que converge para f(x) num intervalo aberto em torno da origem, temos que:
Sf(-pi)=0

Passo 1

Enunciado resume: temos a função real
a
f(x)=1+xpi+x^2pi^2+x^3pi^3+x^4pi^4+x^5pi^5
queremos achar o valor de Sf(-pi), onde Sf é a série de Fourier 2 pi-periódica que coincide com f(x) num intervalo aberto em torno de 0. Vamos usar o teorema de convergência em pontos de descontinuidade.

Passo 2

Como Sf(x) é a extensão periódica de f, em x=-pi há uma descontinuidade (pois o valor da função é diferente dos dois lados). Pelo teorema de Fourier, nesse ponto
Sf(-pi)=f(-pi^+)+f(-pi^-)2
Aqui, “ +” indica o limite pela direita e “ -” o limite pela esquerda na extensão periódica.

Passo 3

Para achar esses limites, note que na extensão periódica temos
f(-pi^+) = f(-pi)
e
f(-pi^-)=f(pi)
pois pi e -pi são o mesmo ponto módulo 2pi.

Passo 4

Calculamos:
f(-pi)=1-1+1-1+1-1=0,
e
f(pi)=1+1+1+1+1+1=6

Passo 5

Agora aplicamos a média dos limites:
Sf(-pi)=0+62=3

Resposta

3

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