Exercício 7. Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região no plano definida em coordenadas polares por 2<r<3 e 5π/3≤θ≤7π/3. O conteúdo aqui é representação de regiões em coordenadas polares, e vamos precisar usar a noção de círculos concêntricos (para a parte radial) e arcos de círculo (para a parte angular).

Passo 2

A condição 2<r<3 significa que estamos entre duas circunferências concêntricas de raios 2 e 3. Em coordenadas polares, r é a distância ao ponto (0,0), então isso define um “anel” aberto: tudo que está estritamente fora do raio 2 e estritamente dentro do raio 3.

Passo 3

A condição 5π/3≤θ≤7π/3 descreve o ângulo em torno da origem. Note que 7π/3=2π+π/3, e como ângulos em coordenadas polares são periódicos de 2π, isso equivale ao arco de θ de 5π/3 até 2π, seguido de 0 até π/3. Em graus, vai de 300° até 360° e depois de 0° até 60°, totalizando um setor de 120°.

Passo 4

Para esboçar a região, primeiro desenhe as circunferências r=2 e r=3. Em seguida, trace as semirretas que formam os ângulos θ=5π/3 (300°) e θ=π/3 (60°). A região procurada é o setor anelar entre essas duas curvas, sombreado entre esses dois raios e entre as duas circunferências.

Resposta

A região é um setor anelar entre as circunferências de raio 2 e 3, subtendido por um arco de 120° que vai de θ=5π/3 até θ=7π/3 (equivalente a 300°→360°→60°).

Exercícios relacionados